LIT. IV ; C1IAP. II ; § I

N0 674* Théorème III.

L'aire de la surface latérale d’une pyramide, régulière est équivalente à celle d’un triangle unique qui aurait pour base le périmètre [rectifié] de la base de la pyramide, et pour hauteur son apothème ; — et par conséquent elle a pour mesure la moitié du produit du périmètre de sa base par F apolhème de la pyramide.

En effet, cette surface n’est autre chose qu’une série de triangles adjacens deux à deux , ayant l'apothème pour hauteur commune, et dout la somme des bases compose le périmètre de la base de la pyramide.

Corollaire 1”. — L'aire de la surface totale d’une pyramide régulière [la base comprise] a pour mesure la moitié du produit du périmètre' de sa base par la somme des apothèmes respectifs de la pyramide et de la base.

ConoLL. 2. — Le même mode d’évaluation est évidemment applicable au cône circulaire droit. — Par conséquent

L’aire de la surface latérale d’un cône circulaire droit est équivalente à celle cF un secteur qui aurait pour base , un aie de même longueur que la circonférence [ rectifiée] de la base du cône , et son arête pour rayon ;

Ainsi — elle a pour mesure la moitié du produit de son arête par la circonférence de sa base.

Cela résulte d’ailleurs de ce qu’on a vu (n* 5 10] sur le développement de la surface conique.

Coholl. 3. — L’aire de la surface totale d'un cône circulaire droit a pour mesure, la moitié du produit de la circonférence de sa base , multipliée par la somme faite d’une arèle et du rayon de cette base.

Scolie. — L’aire de la base d'un cône circulaire droit est à celle de sa surface latérale, comme le rayon de celte base est ti l'arète du cône.

— Aires dans l’esp. 449

Coroll. 4. — L’aire de la surface latérale et un tronc de pyramide régulière à bases parallèles [qui esl la différence de deux pyramides régulières semblables] , a pour mesure le produit de la demi -somme des périmètres des bases, multipliée par son apothème , ou le produit du périmètre de la section faite à égale distance des bases, multipliée par son apothème.

Coroll. 5. — De même, un tronc de cône circulaire droit à bases peu-allèles étant la différence de deux cônes circulaires droits semblables , sa surface latérale est équivalente à la différence de deux secteurs semblables (n*3a8, coroll. i4r)i d’où il résulte que l’on peut en donner les expressions suivantes :

' v '* - i'’ .. / , ) j* vv LJ ^ w • • '

L’aire de la surface latérale d’un tronc de cône ^circulaire droit à bases parallèles , a pour mesure le produit de son arête par la demi-somme des circonférences des bases (n° 35 1) ;

Ou bien — le produit de son arête par ta circonférence de la section perpendiculaire à t axe , faite à égale distance des bases. *

Cette mesure comprend celle du cône entier lorsqu’on regarde comme nulle la petite base du tronc , ou même celle du cylindre , que l’on peut considérer comme un tronc de cône dont le sommet serait situé à une distance infinie de la base (n“ 142).

La même surface est (loue équivalente h la tomme des surfaces latérales de deur cônes de môme arête que le tronc , et dont les bases seraient respectivement égales à ses deux bases;

Ou bien — h la surface latérale d'un cylindre circulaire droit qui au rait pour base ta section perpendiculaire à C* axe t faite a égalés distances des bases du tronc t et son arête pour hauteur.

Corot.l. fi. — Enfin — La surface totale d'un tronc de cône circulaire droit h bases parallèles est équivalente a la somme des surfaces totales de deux cônes de môme arête que lui , et dont les bases seraient respee* tivement les deux bases du tronc .

LIT. IV; CH*«>. Il ; $ ». —

Pî° 575. Théorème IV.

Dans deux pyramides quelconques [ quelles que soient les figures respectives de leurs bases], les aires des sections parallèles faites à des distances proportionnelles des sommets, [ou égales chacune à chacune] , sont proportionnelles.

En nommant A , B , les aires des Sections de la première pyramide, C, D, les aires des sections de la seconde, a, b, deux côtés [ou lignes] homologues des deux premières, et c, d , deux côtés [ou lignes] homologues des deux dernières, on aura d’abord (n°* 5o3 et 354) *

A : B :: n* : b », et c : d :: c* : d\ •

Or : — i° les côtés a, b , des deux premières figures , étant proportionnels à leurs distances au sommet de la première pyramide (n0* 56a ; çi 563 , coroll. 2) ; — a° les côtés c , d , des deux dernières, étant proportionnels à leurs distances au sommet de la seconde pyramide; — et enfin — 3‘ les distances aux deux sommets étant elles -mêmes proportionnelles entre elles [ou égales deux à deux] , — il en résulte a : b :: c ~ d-,

d’ou A : B g C ; D {voyez le n' 355).

Scolie. 1". — * Si l’on a A =C, on aura aussi B=D; •*«-

et vice versd.

Scol. 2. — Chacune des deux pyramides peut être , dans le théorème précédent , remplacée par un cône , sans que la proposition cesse d’avoir lieu.

N» 576. Remarque sur la mesure des aires des surfaces cylindriques , et coniques. *

Au lieu de nom fonder sur le développement des surfaces do cône et dn cylindre pour en déterminer Faire, nous aurions pu employer, au moins pour les cylindres et les cônes circulaires droits, un moyen analogue à celui dont nous nous sommes servi pour le cercle (n° 348). Mais pour cela , il eôt fallu établir divers lemmes que nous allons indiquer.

— AIRES IUI*S 1,’rap. 45»

Lemme 1. — Si, en menant dans deux portions finies de surfaces, Fig.418. OABCD, O'A'B'C'D' (üg- 418), et de toutes les manières possibles, des plans parallèles à une direction déterminée AA', on trouve que dans l’une OABCD, toutes Us lignes d’intersection, AOB.CUD.,., sont plus petites [ou les unes de même longueur et toutes les autres plus petites ] que les lignes d'intersection , A'O'B', C'Ü'D', .. qui leur correspondent respectivement dans l'autre surface , on doit au conclure que ta première surface est moindre que la seconde.

On peut tirer de Iti , comme cas particulier, ce principe que

Toute portion de plan oABCD (fig. 4*9) [B™*1** Par uoe ligne ABCD] Fig. 4*9est moindre qu'une portion de surface quelconque OABCD terminée au même contour ABCD.

■flfei * '

Ici, l'on peut prendre pour la direction déterminée dont il, est question dans l'énoncé du lemme général , une perpendiculaire au plan : c'cst-A-dirc qn'il suffit de faire toutes 1rs sections perpendiculairement i ce plan ; et alors, comme on a toujours (ne 5J AoB <1 A Ù B , CoD <[ COD, ... il s'ensuit que

oABCD < OABCD.

An surplus, il est très permis et beaucoup plus simple , de considérer cette dernière proposition comme résultant évidemment de la nature du plan.

Ou déduit encore, du lemme 1 , une autre conséquence que nous préférons démontrer séparément : nous la placerons en tête du paragraphe suivant (u°58o).

Lemme 11. — Tm surface latérale d'un cylindre circulaire droit, est — r* plus grande que celle de tout prisme inscrit, — et — a“ plus petite que celle de tout prisme circonserit.

Il snffitdc prouver — toque chaque pan, A A'BB' (fig. jao), du prisme inscrit, Fig. 4^0. est moindre que la portion correspondante, AA'CC'BB', de la surface cylindrique, — et — 1° que celte portion de surface cylindrique, est moindre que la portion correspondante AA'DD'BB', du prisme circonscrit, — Pour cela on mène, conformément à l'énoncé du lemme 1, une infinité de plans [tels que abcd ] tous perpendiculaires an pan que l'on considère. Il est facile de voir que les sections qui en résultent, satisfont aux conditions de cet énoncé.

La proposition peot s’étendre à une série quelconque de cylindres circulaires droits et de prismes, ayant toutes leurs arêtes égales et terminées ans mêmes plans, et tclsquclcs circonférences ou périmètres de leur bases [mais non les surfaces latérales] , s’envelopperaient les unes les autres.

Lemme ni. — La surface latérale d’un cône circulaire droit est — 1° plus grande que celle de toute pyramide régulière inscrite, — et — a* plus petite que celle de toute pyramide régulière circonscrite.

Même démonstration que pour le lemme précédent , en substituant, dans la figure, le sommet commun S (fig. 4a>) i la section A'B'CD'. Fig-4*1*

45a . LIV. IV ; OIUP. II ; § I. —

Cette proposition peut également s’étendre à nne série quelconque de eAnrs circulaires droits et de pyramides régulières, tous de même ne, et tels que les périmètres de leurs bases s’envelopperaient les uns les antres.

Maintenant, res divers letmnes étant établis, il n’est pas difficile d’en déduire, comme nous l’avons dit ci-dessus , et sans employer la considération du développement, les expressions déjfi obtenues pour la surface du cylindre et celle du cAne.

K» 577. Indiquons encore, pour la mesnredes surfaces courbes en général, un moyen approché, analogue à la méthode établie dans le deusiime Livre fn° 347) pour la mesure des aires planes terminées par des lignes courbes ; après quoi nous nous occuperons de la surface sphérique.

Nous avons établi (n° 408} que toute surface courbe pouvait être considérée comme composée d'élémens plant : son aire, comme celle des sorfaces développables , sera donc toujours susceptible d'étre évaluée ou carrée. Pour effectuer approximativement la quadrature d’une portion de surface courbe, on est ainsi conduit !k supposer cette surface partagée en triangles très petits : en considérant ces triangles comme plans, et faisant la somme de leurs aires , évaluées d’après la méthode du numéro 345 (a*) , on aura une mesure de celle de la surface courbe , mesure d’autant plus approchée que ces triangles seront plus petits.

Pour plus d’exactitude, on peut s'y prendre de la manière suivante, qui cependant a l’inconvénient d’exiger des calculs un pen longs:

Projetons sur nn plan la portion de surface proposée , c'est-à-dire menons , par des points très tapprochcs pris sor ses bords , des perpendiculaires à ee plan. Lions par des droites les pieds consécutifs de ces perpendicolaires, et décomposons en triangles la figure plane ainsi formée. Puis, par les sommets de ces triangles , élevons des perpendiculaires ou ordonnées (n° 347) terminées à la surface courbe, et menons des droites par les sommets des perpendiculaires voisines : nous formerons ainsi un réseau de triangles inscrits à la surface courbe, et tels que la somme de icnrs aires différera d’autant moins de l'aire de cette surface, qne les triangles seront plus petiu. La question se trouvera ainsi ramenée !i calculer l’aire de chaque triangle.

. Pour pins de simplicité, supposons que les triangles primitivement formés dans le plan de projection , soient tons égaux entre eux , équilatéranx (voyez le n® x38); et prenons leur cAté commun pour unité ; [on peut négliger les triangles du bord qui ne sont pas équilatéraux], — Soient d, d', rf, les différences de longueur des ordonnées qui correspondent à l’un de ces triangles, prises deux à deux : les cAtés du triangle inscrit correspondant auront rrspeqtivrmcnt ponr longueurs

\Z’i ~+d’, Ÿ 1 -h d et V/'-f -«**» >

et il sera facile d’en dédoire l’aire de ce dernier triangle par la formnle dn numéro 345 /:•).

— AIRES DAN* l'eSP. 453

Lorsque la courbure de la surface etc très faible, c’est-h-dire lorsque la forme de cette turface te rapproche assez sensiblement de la forme plane , alors, pourvu qu’on prenne le plan de projection convenablement, les différences d, t! , d“, seront très petites ;et pour simplifier le calcul, on pourra négliger les puissances de d, d' , d", supérieures à la seconde, et supposer {voyez Y Algèbre) :

V't + <?*= 1 -+- - tf», a

ÿT+TF — t d"'.

Si l'on fait alors, pour abréger,

et que l'on continue il négliger toujours les puissances supérieures de cet quantités, la formule déjà citée donnera, pour Caire de chaque triangle, des expressions de la forme

et l’on n’aura plu* qu’à en faire la somme.

Il est facile de reconnaître ( voyez le n° 5j6, lemme ï) que le résultat obtenu par cette méthode, sera toujours un peu au-dessous do véritable, maisqu’ilen différera d’autant moins, que la courbure de la surface sera plus faible, et que les triangles élémentaires seront plus petits et tendront plus à devenir parallèles au plan de projection.

N° 578. Problème I.

Étant donnée U arête dun cône droit, égale à 25*, 1 5, et sa hauteur 17", 3, trouver sa surface latérale \A~\ .

Pour cela on a (n° 5q4i coroll. 3) :

A = tr.25, i5. y/ (a5, i5)’ — (1 7,3)*

= tr.25, i5. y/ 42,45 x 7,85 ; log.A — log.T-l- Zo#. 25, i5 + ;.%.42, 45 + f.log. J, 85 ; ou , en effectuant les calculs indiqués,

log.A = 3, 159061 5= log. 1442,32 :

donc 1442*^ )32.

LlV. IV ; CHÂP. III ; $ II.

N° Sqg. Problème 11.

1res mirons des bases d'un cône tronqué ont respectivement 3* et 5" de longueur, et son arête a 7" : — on demande sa sur— face latérale.

Cette surface a pour mesure (n° 5^4 » corol. 5) :

§ II. — De VAire de la Surface Sphérique.

N° 58d. Lemme I.

L’aire d’une surface convexe fermée de toutes parts, polyèdre ou courbe , est moindre que celle de toute autre surface , qui l'envelopperait entièrement.

• Cette proposition est une conséquence du lemme i établi ci-dessus (n° 5?6) : car si l’on mène des plans quelconques au travers des deux surfaces proposées, les lignes d’intersection de la surface enveloppante seront toujours plus grandes que les lignes d’intersection de la surface enveloppée (voyez Je n°7f3).

[Mais] on peut démontrer directement ce nouveau lemme, par un raisonnement à très peu près semblable à celui du numéro 243.

Fig. igS. Il suffit pour cela de convenir que ABGD, PQRST (fig. tg5), représenteront des surfaces au lieu de représenter des ligues. Alors , au lieu de considérer la portion de plan limitée par la ligne ABCD, on considère la portion d’espace limitée par la surface ABCD; et l’on mène un plan tangent représente par MAN. Ce plan coupe la surface enveloppante suivant une ligne courbe ; et la portion de ce plan limitée par la ligne courbe, étant moindre que la portion de surface courbe représentée parMPQN, on en conclut l’énoncé, comme dans le numéro cité.

Scolie in. — La proposition est applicable au cas de deux surfaces ayant une partie commune, ou des points communs, ou des lignes communes, pourvu que la partie enveloppée soit convexe... , etc. (voyez le n° 24 3, s col. i*r). On peut aussi sup-

AIRE DE LA SPHÈRE

primer les partions de surface qui sont communes ; et alors ou voit que

De deux portions de surfaces terminées au même contour, ï une enveloppé convexe , l'autre enveloppante quelconque , la première est toujours la plus petite.

Scol. a. t*- La même proposition peut encore être étendue à une série de surfaces qui s’enveloppent les unes les autres, pourvu qu’elles soienlptoutes convexes ; [restriction qui, toutefois, est inutile pour la plus extérieure].

N° 58 1. Les deux surfaces pourraient être des surfaces de révolution autour d’un même axe Ka ( fig. 42a)> avoir en Mç. fai. outre un même plan de symétrie SS' perpendiculaire à cet axe.

Dans ce cas, le plan de symétrie partageant chacune des deux surfaces'en deux parties égales, MNM' etMnM', PQP' et PyP', il y aurait lieu d’appliquer aux portions ou moitiés de surfaces , situées de chaque côte de ce plan [bien qu’elles ne soient pas fermées de toutes parts, et que l’une n’enveloppe pas l’autre], le principe démontré pour les surfaces entières.

On peut énoncer cette conséquence de la manière suivante : .

Lemme II. Fig. 422.

Soient deux lignes, MN, PQ, comprises dans un angle droit SOA et terminées à ses côtés , sans se couper dans son intérieur j

En faisant tourner les deux lignes autour de l’un des côtés de cet angle , on obtient deux surfaces de révolution dont l’une intérieure, MNM', est moindre que la surface extérieure PQP', toutes les fois que la ligne génératrice intérieure satisfait aux conditions suivantes :

1° Si elle présente , dans toute son étendue, sa concavité vers le sommet de l'angle (n° 240;

Et — a° Si les tangentes à ses deux extrémités, M, N, ne font avec les gâtés de l'angle primitif SOA que des angles inférieurs aigus ou droits.