LIV. IV; CHAP. II; $ II

Fig. <aa. Scolie. — Cette dernière condition est nécessaire pour que la surface totale MNM'n soit convexe. Ainsi par exemple, i la proposition ne serait pas applicable au cas où la ligne MN serait un arc de circonférence plus grand qu’un quadrant.

N° 58a. Lemme III, Fig. 4a3.

L’aire de la surface laiérale d'un trwic de cône circulaire droit ’à bases parallèles , AA'BB', est équivalente à celle d’un cylindre de même hauteur ab , et dont la base aurait pour rayon la perpendiculaire PO élevée sur le milieu P d'uue arête AB, et terminée à l’axe ab; — et par conséquent elle a pour mesure , le produit de son axe par la circonférence décrite d'un rayon égal à la perpendiculaire élevée sur le milieu d une arête, et terminée à cet axe.

En effet , si l’on abaisse du point P sur l’axe ab , la perpendiculaire P p, l’aire de la surface latérale du tronc aura d’abord pour mesure

cire. Bp yc AB , ou 2».PpXAB.

Maintenant , si de l’extrémité A d’un rayon ak de la petite base, on abaisse une perpendiculaire AL sur le rayon parallèle 6B de la grande base , les deux triangles ABL , PO p, seront semblables comme ayant les côtés perpendiculaires chacun à chacun ; et l’on aura

ab : al :: op : Bp,

d’où

AB X Pp = OP X AL = OP X ab :

par conséquent , l’aire de la surface latérale du tronc de cône peut s’exprimer par

asr.OP X ab , ou cire. OP X ab ; C. (). F. D.

Scolie. — L’expression précédente est également applicable au cône entier {voyez le u° 674» coroll. 5).

— AIBK UE LA SPHÈBE.

N* 583. Lemme IV Fig. 424.

La surface engendrée par la révolution d’une ligne polygo- F'|g-4'»4nale régulière ABCD. . . (n° 3a6, scol.) tournant autour d'une droite MN qui passe par son centre O, et qui ne la coupe pas, est équivalente X la surface late'rale d’un cylindre circulaire droit qui aurait pour base le cercle inscrit X la ligne polygonale, et sa projection sur l’axe pour hauteur ; — et par conséquent elle a pour mesure le produit de la circonférence inscrite à la ligne polygonale , multipliée par la projection de celle-ci sur taxe.

Soient ab , bc, cd , .... les projections respectives des côtés AB , BC , CD , . . . . de la ligne brisée , sur l’axe de révolution, et OP , OQ, OR,.... leurs apothèmes. En représentant par aire AB, aire BC, aire CD, .... les aires des surfaces coniques respectivement engendrées par la révolution de ces côtés, nous aurons (n° 582)

aire AB = cire. OP X.ab, aire BC = cire. OQ X bc, aire CD = cire. OR X cd,

d’où, faisant la somme, en observant que OP=OQ=OR...., et que ab bc cd= ad,

on tire aire ABCD = cire. OP X ad,

mesure d’une surface cylindrique conforme à l’énoncé.

Scolie. — D’après ce meme énoncé , la ligne génératrice ne doit pas couper l’axe de révolution : elle peut tout au plus y aboutir, soit par une de ses extrémités, soit par toutes les deux. Dans ce dernier cas, où elle devient un demi-polygone régulier, la hauteur de la surface engendrée, ainsi que celle de la surface cylindrique équivalente , est égale au diamètre du cercle circonscrit.

458 • LIŸ. IV; Cil A}'. Il; § **• —

N* 584» Théorème V (*). Fig. 288.

Toute surface sphérique OA est équivalente à la surface latérale d’un cylindre circulaire droit équilatéral (na 49*) qui aurait pour base un grand cercle [et le diamètre AC pour hauteur] ; — et par conséquent elle a pour mesure le produit de la circonférence <f un grand cercle , multipliée par le diamètre.

Cette proposition résulte de ce que la demi -circonférence génératrice de la sphère peut être considérée comme un demipolygone régulier d’une infinité de côtés infiniment petits ( n0 24°)- On peut d’ailleurs , en suivant la même marche que dans le numéro 348, démontrer le théorème comme il suit t

Supposons que cire. OA X AC , mesure de l’aire d’un cylindre équilatéral conforme à l’énoncé , ne soit pas en même temps celle de la surface sphérique OA. Alors cette mesura appartiendra nécessairement à quelque autre surface sphérique d’un rayon plus grand ou plus petit , attendu qu’il y a des sphères de toutes les grandeurs possibles. Supposons donc que cire. OA X AC soit la mesure d'une surface plus petite que celle de la sphère OA, par exemple la mesure de la surface sphérique OA'. Inscrivons dans la demi-circonférence génératrice de la sphère OA un demi-polygone régulier qui ait OB pour apothème , et dont les côtés ne rencontrent pas la circonférence ; puis, faisons tourner tout le système autour du diamètre AC. Le demi-polygone régulier engendrera une surface dont la mesure sera , cire. OB X AC ; mais OB est moindre que OA, tandis que la surface engendrée par le demi-polygone est plus grande que celle de la sphère OA';

> — > Ce qui est absurde.

(*) La découverte de ce beau théorème e«t dne Ji la sagacité iI’Akchimède, qui ordonna pour en perpétuer la mémoire, que le cylindre équilatéral circonscrit ^ la sphère, fût gravé sur son tombeau.

AlkE DE LA SPHBKE.

On démontrera it de même, que cire. OAXAC ne peut Fig.a88. mesurer la surface d’une sphère plus grande : [pour cela, on circonscrirait à la demi-circonférence génératrice de la sphère OA, uu demi-polygone régulier dont les côtés ne rencontrent pas la grande ; alors , au lieu d’avoir AC pour facteur commun des deux expressions que l’on doit comparer, ou aurait pour facteur commun OA : à cela près, le raisonnement est le même.]

Corollaire. — En nommant r le rayon de la sphère, et d son diamètre , sa surface a pour mesure , 4 srr* ou xd' : elle est quadruple de celle d’un grand cercle.

Scolie i". — Il serait facile de démontrer que

L’aire de la surface sphérique , Taire totale du cylindre circonscrit , et celle du cône équilatéral circonscrit (n® 5io, fig. 4^5), sont entre elles 4 : 6 : 9. Fig. /fai

Par conséquent : — L’aire du cylindre est moyenne proportionnelle entre les deux autres ;

Et — L’aire de la sphère est équivalente aux de la furface totale du cylindre.

Scol. a. — On démon [ferait de même, que

L'aire de la surface sphérique, celle du cylindre équilatéral inscrit, et celle du cène équilatéral inscrit {fig. 4^6), sont entre elles :: 16 : la ; 9. Fig. $a6.

L'aire du cylindre est donc encore moyenne proportionnelle entre les deux autres;

El — L'aire de la sphère es P double de la surface latérale du cylin-

dre; — elle vaut les | de sa surface totale-

N° 585. Théokème VI. Fig. 427*

Une calotte sphérique, BAB' ouBCB', est équivalente à la Fig.4a7* surface latérale d’un cylindre circulaire droit qui aurait pour hase un grand cercle, et même hauteur, AD ou CD, que la calotte ; — et par conséquent elle a pour mesure le produit de sa hauteur pur la circonférence d’un grand cercle.

46o L1V. IV ; CHAP. Il ; $ II.

La démonstration de ce théorème est à peu près la même que celle du précédent.

Pour y parvenir directement , considérons d’abord une calotte BAB' au plus égale à une demi-sphère (n° 58i , scol.)t et supposons que cire. OA X AD puisse être la mesure d’une calotte plus petite bab' (n° 58 1 ), ayant même centre O que la première , et sa base sur le même plau. Inscrivons à l’arc générateur AB, une ligne polygonale régulière dont les côtés ne rencontrent pas l’arc ab , et ayant OP pour apothème [comme on l’a fait au numéro 3a6 pour une circonférence entière]. La surface engendrée par celte ligne brisée tournant autour de AD , aura pour mesure , cire. OP X AD. Or cette surface est plus graude que la calotte bab' (n° 58i) , tandis qu’au contraire OP est moindre que OA ; — Ce qui est absurde.

On prouverait de la même manière, que cire. OP X AD ne saurait être la mesure d’une calotte plus grande que BAB' £ en inscrivant encore, à l’arc générateur de cette calotte plus grande, une ligne polygonale régulière].

Considérons maintenant une calotte BCB' plus grande qu’une demi -sphère : la démonstration précédente n’y est plus applicable (n° 58 1 , scol .); mais on a

BCB' = BAB'CB — BAB' = cire. OA X AC — cire. OA X AD , ou BCB' == cire. OA X CD.

Donc le théorème est général.

Corollaire i*'. — L'aire d'une calotte est équivalente à celle ttun cercle qui aurait pour rayon la corde de rare générateur (voyez les n®* 274, scol. 2, 2° ; et 348, coroll. i*r).

Coroll. 2. — Une zone étant la différence de deux calottes, et ayant pour hauteur la différence de leurs hauteurs, est aussi équivalente à la surface latérale d’un cylindre circulaire droit qui aurait pour base un grand cercle , et même hauteur que la cône j — et par conséquent elle a la même mesure qu’une calotte de même hauteur.

ioogle

Digiti;

AIRE DE LA SPHÈRE. 4^1

Coroll. 3. — L’aire d'une calotte ou d'une zone est à celle de la sphère entière , comme la hauteur de la zone ou de la calotte est au diamètre de la sphère ;

Elle est donc, pour une même sphère, indépendante des rayons des bases ;

Et — Elle a pour mesure le produit de sa hauteur par la circonférence d’un grand cercle.

Enfin , en nommant h la hauteur, r le rayon de la sphère et d son diamètre , l’aire de la calotte ou de la zone a pour expression , 2 %rh ou wdh.

N° 586. Théorème Vil.

Dans une même sphère ou dans des sphères égales ,

Les fuseaux sont proportionnels aux angles dièdres correspondons, ou aux arcs de grand cercle correspondons .

La démonstration de ce théorème étant à peu près semblable à celle du numéro 447» relative k la mesure des angles dièdres, nous nous contenterons de renvoyer à cette dernière.

Corollaire 1". — En prenant pour unité de fuseau, le fuseau correspondant k ün angle dièdre droit , ou le fuseau équivalent au quart de la surface sphérique ou à un grand cercle

(n° 584, coroll. 1") ,

L'aire d’un fuseau a pour mesure l'angle dièdre correspondant , ou l'arc de grand cercle correspondant ( voyez le n° 536).

Coroll. a. — Si l’on nomme A la valeur de l’angle ou de l’arc correspondant à un fuseau, la mesure absolue du fuseau, rapportée au carré qui a pour côté l’unité linéaire, aura pour expression , Atrr ■*.

Et par suite : — L’aire d’un fuseau est à celle de la sphère , comme l’angle dièdre correspondant esta 4 droits, — ou comme l arc de grand cercle correspondant est à la circonférence d’un grand cercle.

LIY. HT ; CltAP. «I ; 5 II. —

N* 587. Théorème VIII. Fig. 428.

Fig.4»8. Deux triangles sphériques symétriques entre eux , ABC, A'B C', sont équivalent .

La démonstration est toute pareille à celle du numéro 465, relative aux angles trièdres.

Les côtes des deux triangles proposes étant égaux , les cordes qui les sous- tendent sont aussi égales, et forment des triangles égaux. Les cercles circonscrits à ces triangles , qui sont nécessairement des petits cercles (n° 532), sont aussi égaux ; et en menant de leurs pôles respectifs, P, F, des arcs de grand cercle aux sommets des triangles sphériques proposés , on formera des triangles sphériques isocèles qui seront aussi égaux chacun à chacun.

Seulement , il fant bien faire attention à ceci : comme les pôles P, P', sont nécessairement placés de la même manière par rapport aux deux triangles, par suite, selon que l’un des triangles proposés sera la somme de trois ou de deux triangles isocèles, ou l’excès de la somme de deux pareils triangles sur un troisième, c’est-à-dire selon que le pôle du petit cercle circonscrit à l’un des triangles proposés sera dans l’intérieur de ce triangle, ou sur l’un de ses côtés, ou à l’extérieur, la même disposition existera également dans le second triangle ( voyez le n°465).

Corollaire. — Deux polygones sphériques symétriques entre eux étant composés de triangles sphériques symétriques , sont équivalent.

N° 588. Théorème IX. Fig. 429.

F>g.4»9- Un triangle sphérique ABC est équivalent à texces de la ' demi-somme des fuseaux qui correspondent à ses angles , sur un fuseau droit.

— aireT DE r.A SPHÈRE. 4^3

Les circonférences 3c grand cercle auxquelles appartiennent Fig. ^9. les trois côtés du triangle, forment, eu se coupant sur la surface de la splière , huit triangles sphériques différons, entre lesquels il existe les mêmes relations qu’entre les augles trièdres qui leur correspondent respectivement (n°* 399, 45i , et 452) ; et en nommant A, B, C, les fuseaux qui correspondent aux angles du triangle, on a {voyez le n° 4G6) :

ABC -f ABC = B, • >♦.-'* * «

ABC -f- ABC' = C.

Remplaçant dans la dernière égalité, ABC' par son symétrique équivalent A'B'C (n° 58-j) , ajoutant membre i membre les trois égalités , et observant (n° 4^2) que

ABC -f ABC + AB'C -f- A'B'C = 2 [eu prenant le fuseau rectangle pour unité] , on obtient a.ABC-f-a = A-f B+C, ou ABC = i (A + B+C) — t.

Corollaire 1". — Un triangle sphérique ABC est équivalent au fuseau dont l'angle dièdre serait [ j (A -J-B-f-C) — 1 } ; U a pour mesure absolue (n° 58G, coroll.'x) (A-}-B-f-C) — 1 }"*■

Voyez les corollaires du numéro 466.

Si l’on prenait pour unité le triangle trirectangle , la me- ' sure du triangle quelconque proposé, serait {A-f-B-(-C — 2 J.

Sentie I tr. — An lieu île mesurer les fuseaux et les triangles sphe'riques par des angles dièdres , on pourrait au contraire mesurer les angles ilièilres et les angles trièdres , par les fuseaux et les triangles sphériques qui leur correspondent respectivement sur une même sphère ou sur des sphères décrites d’un même rayon arbitraire et ayant leurs centres respectifs sur l’arète de chaque angle dièdre, ou au sommet île chaque angle trièdre; ce qui serait analogue h la mesure des angles plans par des arcs de cercle (n° taa).

Scol. 2. — L’expression (A-f-B-f-C — 2), dont la moitié mesure l’aire du triangle sphérique quand on prend le fuseau droit pour unité, se nomme l’rareè.e sphérique du triangle.

m LIV. IV ; CHAP. Il ; • $ II. —

En supposant infini le rayon île la sphère, la somme des angles A, B, C, devient égale h i puisque alors le triangle est nn triangle plan rectiligne (n® 5ij») ; et l’excès spherique se réduit h zéro. Mai» aussi, la surface prise ponr nnitc devient infiniment grande.

Coroll. a. — En prenant encore l’aire du fuseau droit poar unité (n° 586, coroll. 1"),

L'aire d’un polygone sphérique convexe a pour mesure la demi-somme de ses angles , diminuée et autant d'angles droits qu'il a de côtés moins deüx [voyez le n*

Coroll. 3. — La surface de ta sphère étant supposée partagée en un certain nombre de polygones convexes , son aire a pour mesure le double du nombre des sommets , plus le double du nombre des polygones , moins le double du nombre des càtés (voyez le n° 475,'.

N” 58g. Problème I.

Étant donnée Faire d'une splthre, égale, à 7 28"’ ,4926, trouver son rayon [r].

On a ( o° 584 1 coroll.) s 718,4926= 4tT“ »

N° 5go. Problème II.

Ën supnsant la terre parfaitement spherique , et sachant que le quart du méridien est égal à 10 ooo ooo mitres , on demande de déterminer son rayon [r] , et l’aire de sa surface [*].

En nommant, pour abréger, c la circonférence du méridien , on ad’»* bord

tog. - c = log. 10 non ooo =r 7,3oro3ooo