LIV. IV; CHAP. <11; $ I

N* 5g6. Théorème II. Fig. 43 1.

Fig.43i. Deux parallélépipèdes rectangles, OG , OG', de même hauteur OC , sont proportionnels à leurs bases , OF, OF'.

En effet , on peut d’abord placer les deux parallélépipèdes de manière qu’ils aient un angle irièdre commun en O. Cela fait, la face A'G' du parallélépipède OG' [prolongée s’il est nécessaire] détermine un troisième parallélépipède rectangle OG" qui peut être considéré comme ayant pour base le rectangle OD, et OÀ' pour hauteur. En lui comparant le parallélépipède OG considéré comme ayant la même base 01), et OA pour hauteur, on a la proportion

og : OG" :: oa : oa’.

Maintenant , Je même parallélépipède OG" peut être cousidéré comme ayant pour base OE' et pour hauteur OB. En le comparant au parallélépipède OG' considéré comme ayant la même base OE' et OB' pour hauteur, on a encore

' OG" :og' :: ob 5 OB'^

Multipliant ensuite ces deux proportions par ordre , on obtient, en supprimant le facteur commun OG",

og : og' :: oa x ob : oa' x QB';

alors , le second rapport de la proportion étant précisément celui des bases , OF, OF', des deux parallélépipèdes OG, OG', on en tire l’énoncé du théorème.

N° 597, Théorème III. Fig. 43a.

Fig. 43a. Deux parallélépipèdes rectangles quelconques, OG, OG', sont proportionnels aux produits de leurs bases par leurs hauteurs.

VOLUMES DES PAHALLÉLÉP. 4%

Ou pont placer les deux parallélépipèdes de manière qu’ils Fig. 43a. aient un angle trièdre commun O. Cela posé, en prolongeant, s’il est nécessaire , les faces A'G' et B'G' du parallélépipède OG', on formera un nouveau parallélépipède OG' qui pourra être considéré comme ayant pour base le rectangle OF', et OC pour hauteur ; en lui comparant le parallélépipède OG considéré comme ayant pour base OF, et la même hauteur OC, on aura

og : OG' :: of : or.

Maintenant , en comparant le meme parallélépipède OG* au parallélépipède OG' qui a la même base OF' et pour hauteur OC, on a cette seconde proportion

og' : OG' :: oc : oc';

d'où l’on tire, en la multipliant par ordre avec la précédente et supprimant le facteur OG", • ,

og : og of x oc : of' x oc' ,

Scolie i". — Si l’on multiplie la proportion que l’on vient d’obtenir, par la suivante

• of : of' :: oa x ob : oà' x ob' (n° 340,

on obtiendra, en supprimant les facteurs OF etOF7,

og : og' :: oa x ob x oc : oa' x ob' x oc-,

c’est-à-dire que — Deux parallélépipèdes rectangles quelconques, OG, OG', sont proportionnels aux produits des arêtes adjacentes (n° 4^3, scol. 2) [qui forment, dans chacun d’eux, un même angle trièdre].

Scol. 2. — Les démonstration! des (rois théorèmes precedent s’appliqueraient egalement h deux parallélépipèdes quelconques , ponrtu qn’ils eussent oa angle trièdre égal.