LIV. IV ; CHAP. III ; § I

N® 598. Remarque générale sur la mesure des volumes.— En comparant le parallélépipède rectangle quelconque OG Fig. 433. (fig. 433) au cube og , on aura généralement

OG : og OA X OB X OC : oa X ob X oc.

Mais si l’on suppose que oa [ = ob = oc ] soit l’unité linéaire , et que le volume du cube og soit pris pour unité de volume (voyez le n° 5g4) , alors la proportion précédente deviendra

OG = OA x OB x OC :

t c’est-à-dire que dans l’hypothèse où l’on prend pour unité de volume le cube construit sur l’unité linéaire , — Tout parallélépipède rectangle OG a pour mesure le produit de ses trois arêtes adjacentes formant un même angle trièdre ( n* 483 , scot. a) ; — ou, en d’autres termes , que le rapport abstrait du volume d’un parallélépipède rectangle OG, à l’unité de volume, est égal au produit des rapports abstraits de ses trois arêtes, à l’unité linéaire.

Fig.434. Ainsi, le parallélépipède de la figure , dont les trois arêtes adjacentes sont supposées avoir respectivement 3, S, et 8 unités de longueur, aura pour mesure le nombre

en effet, on peut le considérer comme composé de 5 couches superposées dont chacune contient 3 X 8 ou 24 tubes unitaires , ce qui fait en tout 1 20 cubes.

Cette proposition s’exprime encore d’une manière générale en disant que — Tout parallélépipède rectangle a pour mesure le produit de sa base par sa hauteur ;

Ou bien encore, comme au numéro 342 , que — Tout parallélépipède rectangle a pour mesure le produit de ses trois dimensions [en nommant dimensions les longueurs des trois arêtes adjacentes qui forment chacun de ses angles trièdres}.

[On verra dans ce chapitre, que la mesure d’un volume quelconque se ramène toujours à an produit de trois facteurs

VOLUMES DES PAhxUÀLÉP. 47*

linéaires que l’on nomme de même , ses dimensions , ou A «ne somme de produits de cette espèce.]

Le volume d’un cube a pour mesure la troisième puissance de son arête:— et de là le mot coupeur désigner la troisième puissance d’un nombre.

Lorsque le. ortie» ««'un parallélépipède rectangle forment une progression ,,a r quotient , on peut le transformer en nn cobe équivalent, eon.truu sur son frète moyenne. En effet, «oit a la longueur de la plu. petite arête,

„r Partie moyenne, et «r* la plu. gronde de. troi. : le volume du parallélépipède sera mesure par le produit a X a^X ar\ ou «»r», ou (nr)’; d’où il mit qu d est équivalent au cube con.trnit .or Parère ar. Mai» en général , on ne peut transformer un parallélépipède rectangle en cube comme on re.luil un parallélogramn.e rectangle en carré, parce qu’il n’exi.le pa. de moyen» pour «traire géométriquement une racine cubique comme d y en a pour exiraire «corné tria ueroctU une racine carrée.

Cet-e circonstance explique la célébrité qu’avait acqui.e cl, ex les ane.en., le problème do la duplication du cube, problème qui cons,.te dan. la recherche de l’atèle d’un cube équivalent an double d’nn cube donné. Ce problème, qui marche de pair avec celui de la quadrature du cercle, peut de même se résoudre avec un degré d'approximation tel, que 1 exactitude absolue , »i l'on y parvenait, ne saurait plu. détonnai» offrir aucune utilité rcclle.

N° 5gg. Théorème IV. Fig- 4^5-

Tout parallélépipède droit AF est équivalent à un parai- tïg.435. lélépipède rectangle AF' de base équivalente et de meme hauteur.

Soient AD et GF les faces opposées prises pour bases , les arêtes AG , B1 , CE , DF, étant perpendiculaires à ces bases.

Par les droites AG , BI , menons des plans perpendiculaires aux plan? parallèles Al, CF. Les plans ainsi menés couperont respectivement les plans des laces latérales AD et GP suivant des droites AC' et BD', GE' cl IF'; et en supposant ces droites terminées au plan de la face opposée CF, il en résultera un nouveau parallélépipède AF ( n° 48a). Or, ce parallélépipède sera rectangle : car d’abord, AC' et ses parallèles seront per pendkulaircs aux plans Al, CF (i.“ 4*4 )» «l Par conséquent

4^9 L1V. IV; ÇHAP. III; § I. —

Fig.435. aux droites AB , CD' (n° 41 0 » d’où il resuite que les faces AI/* GF', que l’on peut prendre pour bases, seront des rectangles ; et d’ailleurs les arêtes latérales AG, BI, . . . restent perpendiculaires aux plans de ces bases.

Maintenant, les deux parallélépipèdes AF, AF', qui ont des bases équivalentes AD, AD'(n° 343), et même hauteur AG , sont équivalens. En effet , les deux prismes déterminés par les arêtes latérales AG, CE, CE', d’une part , et BI , DF, D'F', de l’autre, sont égaux (n°48i, coroll. 2); donc, en les retranchant séparément de la ligure totale AGBIDFC'E', soit l’un, soit l’autre, on aura des restes équivalens. Or, l’un de ces restes est le parallélépipède AF , et l’autre le parallélépipède AF' : donc, etc.

N° 600. Théorème V. Fig. 435.

Tout parallélépipède AF dont deux faces latérales sont perpendiculaires aux bases , est équivalent à un parallélépipède droit AF' de même base et de même hauteur.

Nous pouvons employer la même figure , en prenant pour bases les faces AI , CF, et supposant les faces AD, GF, perpendiculaires à ces bases.

Cela posé , par les droites AG, BI , menons encore, comme dans le numêrç précédent, des plans perpendiculaires aux faces Al, CF. Il en résultera un nouveau parallélépipède AF' qui sera droit (n° 482) , et qui aura même base et même hauteur que le parallélépipède AF. — Il est facile de démontrer, comme précédemment , l’équivalence de ces deux parallélépipèdes.

N° 601. Théorème Vf. Fig.435.

'J 'oui parallélépipède AF est équivalent à un parallélépipède AF' de même base et de même hauteur, ayant deux faces latérales perpendiculaires aux bases.

La même figure peut servir encore, en supposant quelconque le parallélépipède AF, et en menant connue ci-dessus