VOLUMES DES PRISMES

(ii°* 5g9 el 600) , par les droites AG et B1 , des plans perpen- Fig.435. diculaires au plan de la face AI que l’on prend pour hase. Ou détermine un nouveau parallélépipède AF', de même base et de même hauteur que le parallélépipède AF, et qui a les deux faces latérales AE', 1)F', perpendiculaires aux bases. — Il est facile de prouver, de la même manière , que les deux parallélépipèdes sont e'quivalens.

N* 602. Théorème VII.

Tout parallélépipède est équivalent à un parallélépipède rectangle de base équivalente et de même hauteur.

En effet, tout parallélépipède peut être transformé en un autre de même base et de même hauteur , et ayant deux faces latérales perpendiculaires aux bases (n° 601); celui-ci peut être transformé en un parallélépipède droit aussi de même base et de même hauteur (n° 600) ; et ce dernier peut être transformé en un parallélépipède rectangle de base équivalente et de même hauteur (n° 5gg). — Donc , etc.

Corollaire. — Tout parallélépipède a pour mesure le produit de sa base par sa hauteur.

N° 6o3. Théorème VIII. Fig. ^56.

Tout prisme triangulaire ADBECF est équivalent à un Fig. 436. prisme triangulaire droit A'D'B'E'C'F' de memes arêtes latérales , el ayant pour base une seation perpendiculaire aux pans du premier. '

Pour le prouver, opérons comme dans le numéro 573.

Prolongeons suffisamment , dans un même sens, les arêtes latérales AD, BE, CF ; coupons ces droites perpendiculairement par un plan A'B'C' qui ne passe pas dans l’intérieur du prisme ; puis prenons sur les arêtes prolongées , les longueurs A'D',

B'E', C'F, égales entre elles et à ces arêtes. Nous déterminerons ainsi un prisme droit A'D'B'E'C'F' de mêmes arêtes latérales que le prisme proposé, et ayant pour base la section faite perpendiculairement à ces arêtes.

474 liv. ,Y ; chap. ut, § t. —

Kg. 436. Cela pose', l’espace A A'BB'CC' est égal à l’espace DD'EE'FP : car si l’o» place le triangle DEF sur son égal ABC, les droites DD', EE', FF', coïncideront respectivement arec les droites AA', BB', CC'. Maintenant, si de chacun de ces deux espaces égaux on retranche l’espace DEFA'B'C', il restera

ADBECF = A'D'B'E'C'F'j C. Q. F. D.

Scolie. — Le utcme raisonnement est applicable à un prisme oblique quelconque, comme dans le numéro 5^3 déjà cité.

Corollaire. — Deux prismes triangulaires sont équivalons lorsqu’ils ont leurs arêtes latérales toutes six de même longueur, et que les sections respectivement perpendiculaires à ces arêtes sont des triangles égaux.

Par conséquent: — Les deux prismes triangulaires symétriques dans lesquels se décompose un parallélépipède quelconque (n° 486) , sont équivalens .

N° 604. Théorème IX.

Tout prisme est équivalent à un parallélépipède de base équivalente et de même hauteur.

i° Si le prisme est triangulaire, il équivaut, d’après le corollaire du théorème précédent , à la moitié d’un parallélépipède construit sur l'un de ses angles trièdres , avec les mêmes arêtes ; et comme la base du prisme est aussi la moitié de celle du parallélépipède, et que d’ailleurs leur hauteur est commune , la proposition se trouve démontrée pour le prisme triangulaire.

20 Maintenant , s’il s’agit d’un prisme quelconque , on peut le décomposer en prismes triangulaires de même hauteur, et dont les bases respectives forment en somme la base du prisme total : donc la proposition est encore vraie pour un prisme quelconque.

— VOLUMES ; PROBE. ZfaS

N* 6o5. Remarque sur la mesure du prisme. — Tout prisme étant équivalent à un parallélépipède de base équivalente et de mêuie hauteur, et le parallélépipède ayant pour mesure le produit de sa base par sa hauteur, il s’ensuit que

Tout prisme a aussi pour mesure le produit de sa base par sa hauteur.

L'n prisme quelconque a également pour mesure le produit d'une section perpendiculaire aux arêtes latérales , multipliée par leur longueur.

Les mêmes mesures sont évidemment applicables aux cylindres , droits ou obliques. — C’est, au reste, ce que l’on pourrait démontrer pour le cylindre circulaire droit , par un raisonnement analogue à celui du numéro 348, en employant des prismes réguliers inscrits et circonscrits.

Quand il s’agit iV un prisme triangulaire , il est facile de voir qu’il a aussi pour mesure la moitié du produit de l'aire d'une face latérale, multipliée par la perpendiculaire abaissée sur cette face , d’un point de l’arête opposée ;

Ou bien : — la moitié du produit de l'aire de sa surface latérale, multipliée par le rayon du cercle inscrit à une section perpendiculaire aux pans ou aux arêtes latérales.

N° 606. Problème I.

En supposant que la quantité d’air nécessaire à la respiration, soit, pour chaque personne, de 4 mètres cubes par jour, on demande combien de. personnes pourraient vivre pendant un jour avec l’air contenu dans un appartement de 1 2"' ,5 de longueur, 5” de largeur, et 3 '”,2 de hauteur.

Pour résoudre cette question, il faut d’abord calculer la capacité de la salle, ce qui donne (n°598)

1 2,5 X 5 X 3,2 = 200mf ;

ensuite il faut diviser par 4) ce qui donne 5o personnes.

VOLUMES; PROBL.

Problème II.

On veut mesurer un stère [ou mètre cube] de bois , au moyen d' une membrure composée de quatre tringles rectilignes for* manl un carré d'un mètre de côté, dont le plan est disposé verticalement ; les bûches, au lieu d avoir 1 mètre de longueur, ont i”,2: — on demande quelle réduction il faut faire subir à la hauteur du parallélépipède .

La base du parallélépipède ayant i",2 X 1", ou l*^,2 de surface, il faut diviser 1 par 1,2, ce qui donne la hauteur, égale à 8 j décimètres.

N° 608. Problème III.

Un rouleau cylindrique de bois de chêne a o",3 d épaisseur [ou de diamètre] , et 2m,5 de longueur ; on sait d ailleurs que le poids spécifique (*) du bois de chêne est de 1,17 : — on demande le volume et le poids du rouleau.

Le volume du rouleau sera d’abord (n°6o5) : t.(o,i5)2 x 2|5 = o",c,i767i4 ou -,

et en multipliant par 1,17 , on aura le poids du rouleau, égal à 2o6kiUf — [Voyez le n° 657.)

N* 609. Problème IV.

On demande quel volume [V] de maçonnerie il entre dans une tour ronde dont le rayon intérieur est de 1*13, l’épaisseur de o*|5, et la hauteur de

Ce volume (o° 6o5) cet exprimé par

/^=vr£Ci,SJ» — <i|3)* ] 19,4= jrx 3,1 X o,5 X 19,4 ;

or log.w... = 0,49714987 ( n° 336)

Ing. 3|i. sa o|49i3(ii6g log. o,5. rs 1,69897000 log. 191! = 1,18780173

d’nii log. V— i|975i83i9=/og-.g4,4677.

Ainsi le volume de la maçonnerie esi de 94“', 4677-

(*) Voyez il la lin du volume , la Table des Poids spécifiques.