METHODES

» critc du point A comme centre , avec un rayon égal à 3 ; et » tous les points qui sont à une distance du point B, égale à 2, h sont situés sur une circonférence décrite du centre B, et d’un » rayon égal à 2. — D’où résulte la construction suivante: » i° Du point A comme centre, et d un rayon égal à 3 uni- » lés de longueur, décrivons une circonférence de cercle ; — » 20 Du point B comme centre, et dun rayon égal à 2 unités , » décrivons une autre circonférence :

» Le point cherché se trouvera à la rencontre C des deux » circonférences. »

Si , au contraire , on veut employer la synthèse, on dira :

« i° Du centre A et d'un rayon égal à 3 unités , décrivons » une circonférence y— 2° Du centre B et d’un rayon égal à 2, » décrivons une autre circonférence :

» Le lieu G où les deux circonférences se rencontrent , est » le point cherché.

■> En effet, tout point de la première circonférence est situé » à une distance du point A , égale à 3 , et tout point de la se- » condc est situé à une distance du point B , égale à 2 ; donc ■> tout point commun aux deux circonférences, fournit une so- » lu lion du problème. »

N*:5G. On voit cjuc ces deux méthode» ont chacune leur caractère propre. — L'analyse est la méthode d'invention ; son usage est éminemment

propre 11 assurer et A rendre pins facile la découverte d'une construction qui satisfasse anx conditions exigées. — La synthèse est la méthode de démonstration ; elle exige le plus ordinairement, pour pouvoir être employée, que l'analyse ait déjA fait connaître cette construction ; mais elle en prouve plus directement l’efficacité. — La première méthode est plus longue, parce que son emploi suppose des tAtonncmcns, nécessaires ponr parvenir A un bulquc l'on ne distingue pas immédiatement; — la seconde est pins courte, parce qu’en la suivant, on marche droit A an but que l'on connaît d’avance, ou que l'on aperçoit sans effort.

Nous userons, suivant les cas, pour présenter la solution des problèmes graphiques , de l'une ou de l’autre de ces deux méthodes. Ainsi , dans les questions an peu compliquées , nous aurons recours A l'analyse. Au contraire , quanti la construction s’offrira d’ellc-mc'mc assez naturellement , nous donnerons la préférence A la synthèse. EnGn , dans les problèmes très faciles, nous nous contenterons de donner un abrégé de l'une ou de l'aolie, en indiquant seulement la construction sans démonstration.

N° 5ç. Au reste, I1 milite de» méthode» dont non» partout ne te borne pat h la résolution de» problèmes : mules deux peuvent être également appliquée» aux théorèmes , l'analyse pour Ica découvrir, et la synthèse pour le» démontrer Toute 1a différence se réduit en réalité à ceci : — T'énoncé suit ou précède la démonstration , suivant que l'on fait usage de l’analyse nu de la synthèse.

Néanmoins, la méthode synthétique ayant, par sa nature, quelque chose de moins diffu» que la méthode analytique , doit lui être généralement préférée pour la démonstration de» théorèmes dont l'existence a déjè été aperçue ou pressentie; etau contraire la méthode analytique, la seule susceptible de conduire l’esprit dans la recherche de nouvelles connaissances, aura le plus ordinairement l’avantage lorsqu’il s’agira de découvrir la solution d'un problème.

En résumé, l 'analyse sert S trouver le» vérités inconnues, et la synthèse h prouver les vérités connues.

N* 58. Pour que la résolution d’un problème soit complète, il faut encore, dans la plupart des cas , que l’analyse ou la synthèse soit accompagnée d’une

discussion. On nomme ainsi l’examen détaillé des circonstances variables

que peut présenter la question, ainsique des conséquences particulières qu’elles entraînent, examen d’où il résulte que, suivant les cas , le problème est déterminé, ou indéterminé, ou bien impossible c’est-h-dire qu’il a un nombre limité et déterminé de solutions, ou un nombre illimité, ou bien qu’il n’eu a aucune. —Par exemple, en discutant le problème fort simple du numéro 55, on verra aisément que dans certaines circonstances [ qui sont Celles de la figure i5] , il y a deux solations ; que dans d’autres, ces deux solutionsse réduisent il une seule [ comme dans la figure 16 ]; et enfin qu’il pourrait n’y en avoir aucune. C’est d’ailleurs ce que nous reconnaîtront encore mieux par la suite.

N° 5g. De plus , il y a une distinction bien essentielle h faire entre le nombre ou la multiplicité des solutions d’un même problème, et le nombre ou la diversité des constructions qne l’on peut employer pour arriver au résultat cherché. Ainsi, d’nne part, il peut y avoir plusieurs points différons, plusieurs lignes, etc. , qui remplissent également certaines conditions exigées ; et, d’un autre côté, il penty avoir diverses manières de parvenir .H Indétermination de chacun de ces points , de chacune de ces lignes, etc.

Relativement aux divers moyens d’obtenir une même solution, la construction employée peut être plus ou moins simple , suivant que le nombre des lignes h tracer est moindqp ou plus considérable; et elle est dite aussi plus on moins élégante, suivant qu’elle tire un parti plus ou moins avantageux des données de la question ou des lignes déjS décrites, ainsi que des analogies qui peuvent exister entre elles, suivant qu*élle assigne aux lignes inconnues des positions plut ou moins appropriées è leur objet , enfin, suivant qu'elle suppose plus on moins de sagacité de. la part de celui qui la découvre.

RAPPORTS

Des Rapports et des Proportions en Géométrie.

N® 60. Bien que les notions de rapport et de proportion appartiennent essentiellement à Y Arithmétique , neanmoins, comme elles se représentent à chaque instant dans la Géométrie , et qu’il est extrêmement important de bien fixer les idées sur ce sujet, nous croyons devoir les rappeler brièvement.

On appelle rapport d’une quantité à une autre quantité de même espèce , la maniéré dont la première quantité [ que l’on nomme U antécédent du rapport] se compose de la seconde quantité [que l’on nomme le conséquent ]. Ainsi, lorsque l’on dit qu’une quantité A contient trois fois une autre quantité B, plus deux fois le septième de cette autre quantité B, on énonce le rapport de la quantité A [considérée comme antécédent] à la quantité B [considérée comme conséquent].

Lorsque l’on veut comparer entre elles plusieurs quantités de même espèce , on en prend une quelconque pour terme général de comparaison ; on lui donne le nom d’UniTÉ; et l’on appelle nombre, le rapport de chacune des autres quantités, considérées successivement comine antécédens, à cette unité considérée comme conséquent. Le nombre n’est donc qu’un cas particulier du rapport, avec lequel on le confond souvent, ainsi qu’on le fait dans l’exemple ci-dessus en disant simplement que le rapport de A à B est représenté par le nombre

3 H — , pour dire que la quantité A se compose de la quan-

tité B ou avec la quantité B , comme le nombre 3 -f — se com-

pose avec i ; ce que d’ailleurs , on exprime de la manière suivante :

(Voyez, au commencement de l’ouvrage, le tableau des Signes et abréviations.)

Au reste , pour faire mieux comprendre ce qui pre'cède et pour dissiper complètement ce qu’il peuty rester devague, nous ajouterons quelques nouveaux développemens , en prenant pour exemple particulier la détermination du rapport de deux droites, après avoir toutefois résolu subsidiairement deux petites questions pour lesquelles il ne faut que savoir faire usage de la règle et du compas.

N° 61. Problème I*r. Fig. 26.

Trouver une droite égale en longueur à la somme de deux ou de plusieurs droites déterminées , m, n,p.. . . .

Pour exécuter cette opération , il faut :

i° Tracer d’une manière quelconque une droite indéfinie Fig. 36. AX (n“ a3) ; — 2" Prendre une ouverture de compas (n° 26) égale à la première longueur donnée m , et l’appliquer sur la droite AX, par exemple de A en B; — 3“ Prendre une autre ouverture de compas égale à la seconde longueur n, et la porter à la suite de la première et dans le mcine sens, de B en C ; — 4° Prendre une troisième ouverture de compas égale kp ,

et la porter à la suite des deux autres de C en D; —

Et ainsi de suite.

La distance entre le point A et l’extrémité de la dernière des droites m, n,p. . . . , est la longueur cherchée , puisque

AB BC-f CD... = m-f n + p...

Scolie. — On peut , par le même moyen,

Multiplier une droite déterminée par un nombre entier donné :

En effet , cette question n’est qu’un cas particulier du problème qui précède, dans lequel on supposerait les droites m , n, p.. . . , égales entre elles et en nombre égal au nombre donné ; il est donc inutile de s’y arrêter.

RAFFORTS.

N° 6a. Problème II. Fig. 37.

Trouver une droite égale en longueur à Ferchs (F une droite déterminée , m, sur une autre droite déterminée , n.

i° Traçons une droite indéfinie AX. — 2“ Portons, au moyeu Fig. vj. d’un compas , la droite m de A en B. — 3° Portons la droite n de B en C en sens contraire de la première.

La droite AC sera e'gale à la droite cherchée, puisque l’on a

AC = AB — BC = m — n.

Scolie 1". — Par une suite de soustractions successives, on peut arriver facilement à

Diviser une droite déterminée par une autre droite déterminée,

C’est-à-dire à trouver le nombre [entier] de fois que la première droite contient la seconde.

Scol. a. — On peut également, par nnc suite d’essais successifs, parvenir, aussi approximativement qu’on lèvent, à •

Partager une droite déterminée en un nombre [entier} donné de parties égales.

Pour cela, on prend une première longueur que l’on suppose, à vue, devoir différer peu de la longueur partielle cherchée , et on la retranche de la druite proposée, autant de fois [s’il est possible ] que le nombre donné contient d’unités. On voit de retic manière si la longueur essayée est trop grande on trop petite; on la diminue ou on l’augmente suivant le cas; on fait un nouvel essai; et l’on continue ainsi jusqu’à ce qu’on arrive à une longueur qui satisfasse sensiblement à la question.

An reste, nous donnerons pins lard des moyens de résoudre cette question

tigoureusement , et sans tâtonnement.

Scol. 3. — Enfin . en combinant les solutions des deux problèmes principaux qui précédent (u°* 61 et 62), on parviendra sans peine, par des moyens analogues, à

Trouver une droite égale en longueur à la somme de plusieurs droites données [en nombre quelconque], diminuée de la somme de plusieurs autres droites données.

N° 65. Problème III. Fig. 28.

Fig. 38 Trouver le rapport numérique des longueurs de deux droites

déterminées , Ali, CD.

Pour que le rapport des deux droites dounées soit susceptible d’ètre exprimé exactement par deux nombres [qu’il nous est permis de supposer entiers] , il faut que l’on puisse trouver une troisième droite contenue un nombre exact defoisdans chacune des deux premières, ou une mesure commune aux deux droites données. Mais, remarquons d’abord qu’une pareille mesure commune ne saurait exister sans qu’il en existe en même temps une infinité d’autres, parties aliquotes de la première; et parmi toutes ces mesures communes, nous devons chercher la plus grande , comme étant celle qui donnera pour les deux termes du rapport cherché, les nombres les plus simples.'

Cette recherche correspond visiblement à celle que l’on exécute eu Arithmétique pour trouver le plus grand diviseur commun à deux nombres donnés ; et l’on prouverait facilement, par des considérations analogues, que pour obtenir la plus grande mesure commune aux deux droites données, il faut porter la plus petite sur la plus grande, autant de fois que cela se peut, puis le reste sur la plus petite, etc. , etc.

Portons donc la plus petite droite CD sur la plus grande AB, et supposons que la première soit comprise 2 fois dans la seconde , de A en E , avec un reste EB [ moindre que CD ] : noirs aurons

AB = a.CD + FJB.

Portons maintenant EB sur CD ; et supposons que CD = EB -f-FD.

Portons de même FD sur EB ; et soit EB = 4.FD + GB.

Soit enfin