LIT. IT; CIIAP. III; ^ II

§ II. — Mesure des Pyramides et des autres Polyèdres , etc.

N8 610. Théorème X. JFig. 457.

Deux tétraèdres, SABC, salie, sont équivalent lorsqu’ils Fig.437. ont des bases équivalentes , ABC, abc , et meme hauteur, MN.

Plaçons d’abord les deux tétraèdres de manière qu’ils aient leurs bases sur un même plan , et leurs sommets sur une droite parallèle à ce plan. Puis , supposons que l’on partage la hauteur MN en un très grand nombre de parties égales , et que l’on mène par les points de division , des plans parallèles aux bases : soient pour un instant A'B'C', À"B'C", . . . , a'b'c, a'b'c''..., les sections ainsi déterminées. Les deux tétraèdres se trouveront décomposés en un même nombre de tranches

ABCA'B'C', A'B'C A'B'C", ...,abcdb'c, clb'c' a’b'c",...,

qui différeront d’autant moins de la forme prismatique , que les sections seront plus rapprochées. De plus, ces tranches seront toutes de même hauteur, et de bases équivalentes chacune à chacune (n° 575, scol. 1"); donc si elles étaient rigoureusement prismatiques, les deux tétraèdres seraient équivalons comme composes d’un même nombre de parties équivalentes chacune à chacune. La différence des deux tétraèdres , s’il en existe une , est donc d’une petitesse indéfinie, puisque les sections parallèles peuvent être supposées indéfiniment rapprochées.

Nous pouvons, au reste, prouver que cette différence est rigoureusement nulle.

En effet, soit SABC > sabc , et SABC — sabc = ABC x MP. Partageons la hauteur commune des deux tétraèdres , en parties égales quelconques , mais toutefois moindres que MP ; et soit MQ l’une de ces parties. Décomposons, comme ci-dessus,

4?8 LIV. IV ; f.BAP. III ; § II. —

Fig. 4’;. les deux tétraèdres eu tranches d’une même hauteur égale à MQ ; et soient A'B'C', A*B*C*, . . . , ab'c , a"b"c“ , .. . , les sections ainsi obtenues.

Cela posé, par les points B, C, B’, C, menons pa-

rallèlement à SA , en dehors du tétraèdre SABC , et entre les plans ABC et AJB'C' , A'B'C' et A^'C", . . . , les droites BD, CE,

B'D', nous formerons ainsi une série de prismes

(n° 477 ) excédons , d’une même hauteur égale à MQ, et ayant

respectivement pour bases inférieures, ABC, A'B'C' ;

leur nombre sera d’ailleurs égala celui des sections, jr compris la base.

De même , par les points b' , c' , b“ , Cm , . . . . menons parallèlement à sa , en dedans du tétraèdre sabc , et entre les plans abc et ab'c' , ab'c et a"b"c’ , . . . , les droites b'd, c'e , b" <f , c“c' .... : nous formerons ainsi une autre série de prismes déficiens , de même hauteur que les premiers , et ayant respectiveinent pour bases supérieures , a' b' c , a" b’ c" leur nombre sera égal à celui des sections , non compris la base.

Maintenant, les prismes excédensetles prismes déficiens sont équivalens deux à deux à partir des sommets S et s (n° 6o5) , donc la somme des premiers excède la somme des derniers , du prisme AA'BDCE, ou d’une quantité ABC X MQ (n°6o5). Or, on diminuera la différence en remplaçant, la somme des prismes cxcédens, par le tétraèdre SABC qui est inférieur A celte somme, et la somme des prismes déliciens, par le tétraèdre sabc qui'est supérieur à celte dernière; donc

SABC — sabc ABC X MQ ;

d’où l’on tire , en substituant au premier membre sa valeur supposée ,

ABC x MP < ABC x MQ , on MP < MQ ;

— Ce r/ui est absurde.

— VOLUMES DES PYRAM. 479

Corollaire t*\ — Deux tétraèdres symétriques entre eux sont équivalent (voyez les n°* 49^; et 4<J®> *col.).

Coroll. a. — Deux polyèdres symétriques entre eux sont équivalent ( n° 5i5).

N* 6 1 1 . Théorème XI.

Toute pyramide est équivalente au tiers d'un prisme de meme base et de même hauteur.

Supposons d’abord qu’il s’agisse d’un tétraèdre ABCD ( fig. 438): dans cette hypothèse, menons par les points (,-ig B, C, les droites BE, CF, cigales et parallèles à AD; et achevons le prisme ADBECF qui aura même base ABC et même hauteur que le tétraèdre. Menons de plus le plan CDE : le prisme sc trouvera décomposé en trois tétraèdres, ABCD, BCDE,etCDEF. Le second de ces tétraèdres, considéré comme ayant pour base BCE et D pour sommet , est équivalent au troisième, considéré comme ayant pour base CEF et D pour sommet; et celui-ci , considéré comme ayant pour base DEF et C pour sommet, estéquivalent au premier, considéré comme ayant pour base ABC etD poursommet. Donc les trois tétraèdres sont équivalens : donc le tétraèdre ABCD est le tiers du prisme: donc, etc.

Maintenant , toute pyramide peut se décomposer en tétraèdres de même hauteur qu’elle, et ayant respectivement pour bases les triangles partiels dans lesquels se décompose sa base : donc la proposition est également vraie pour une pyramide quelconque.

N” 6 12. Remarques sur la mesure des pyramides et des autres polyèdres. — Toute pyramide étaut le tiers d’un prisme de même base et de même hauteur, et le prisme ayant pour mesure le produit de sa base par sa hauteur, il s’ensuit que

Toute pyramide a pour mesure le tiers du produit de sa base par ta hauteur.

La même proposition est applicable à un câne à base quelconque, lequel est, par conséquent , équivalent au tiers d'un cylindre de même base et de même hauteur.