LIV. IV; CHAP. III; § II

C’est, au reste," ce qu’il est facile de démontrer directement pour le cas d'un câne circulaire droit, en y appliquant un raisonnement semblable à celui des numéros 348 et 6o5 , et employant des pyramides régulières inscrites et circonscrites au cône.

Quand on sait évaluer le volume d’une pyramide , on peut évaluer celui d’un polyèdre quelconque : pour cela , on le décompose en pyramides (n° 5ia) , de même quejpour évaluer l’aire d’un polygone , on le décompose en triangles ( n® 345 ).

Ainsi par exemple, si l’on imagine des perpendiculaires abaissées de l’un des sommets du pblyèdre [supposé convexe] , sur toutes les faces qui ne passent pas par ce point , le volume du polyèdre aura pour mesure, le tiers de la somme des produits que l’on obtient en multipliant chacune de ces dernières faces, par la pcrpendiculai re correspondante. — {V oyez le n*6540

Lorsqu’il s’agit d’un polyèdre régulier, comme alors la figure est décoraposuble en autant de pyramides régulières égales qu'il a de faces (n° 52~()r et que de plus , chaque pyramide a pour 'base une face du polyèdre et son apothème pour hauteur, il s’ensuit que

Tout polyèdre régulier a pour mesure , le tiers du produit de sa sur face multipliée par son apothème -, • • •

Proposition que l’on peut encore énoncer ainsi :

Tout polyèdre régulier a le même volume qu'une pyramide construite sur une base équivalente à la surface du polyèdre , avec l' apothème de ce polyèdre pour hauteur .

N8 6i3. Théorème Xlï. Fig. 439-

Tout prisme triangulaire tronqué ATîCDEF est équivalent à la somme de trois tétraèdres ayant pour base commune Furie des bases ABC du tronc , et pour sommets les angles de la base opposée. ' >

Pour le prouver, menons le plan BCD et le plan CDE : le prisme tronqué se trouvera décomposé en trois tétraèdres, ABCD, BCDE, ctCDEF. Le premier a d’abord pour base ABC et pour sommet le point D. Le second, considéré comme ayant

— VOLUMES DES PTRAM. Z)®'

pour base BCE et pour sommet le point D, peut être trans- Fig. 43g. formé en un autre ayant mèmè base BCE et pour sommet le point A (n° 610) ; et ce nouveau tétraèdre peut être considéré comine ayant pour base ABC et pour sommet E. Le troisième tétraèdre CHEF peut être considéré comme ayant pour base CEF et D pour sommet j il peut donc être transformé en un autre qui aurait la même base CEF et A pour sommet, ou ACF pour base et E pour sommet. Enfin , celui-ci peut être transformé en un autre ayant la même base ACF et B pour sommet, ou bien ABC pour base et F pour sommet. — Donc, etc.

Scolie 1". — Tout prisme triangulaire tronqué a pour mesure , le produit d une de ses bases multipliée par le tiers de la somme des trois perpendiculaires abaissées respectivement , sur celle base , de chacun des sommets de la base opposée.

Si le prisme tronqué est droit , les perpendiculaires sont les arêtes elles-mêmes.

Seul. i. — En menant an plan parallèle à l'une <le< base* <i'nn priante triangulaire tronque , à une distance égale h la distance moyenne de cette base aux I mis sommets opposes, on détermine nn prisme équivalent an tronc de prbmc proposé.

N* 6 1 4* Théorème XIII. Fig. 44°*

Tout parallélépipède tronqué MNOPABCD est équivalent aux trois Fig. 44° • quarts de la somme des quatre pyrsoiides constrnitcs sur l'nne de ses bases MNOP, et ayant pour sommets respectifs cenx îles angles de la base opposée;— et par conséquent il a pour mesure le produit d’une de ses bases MNOP par le quart de la somme des quatre perpendiculaires abaissées respectivement sureette base , de chacun des angles de la base opposée.

Pour le prouver, menons les deux plans AMPO, BNOC, dont cbacnn partage la ligure en deux prismes triangulaires tionqnés; et supposons d’abord, pour simplifier la figure, que les arêtes latérales soient perpendiculaires il la base MNOP. — Nous aurons