LIV. IV; CHAI*.’ III ; $ II

• 44°* MNPABD = j MNP * fAM 4- BN + DP),

MOPACD = g MOP ic (AM CO + DP;,

OMNCAB = jOMN x (CO ■+■ AM BN),

OPNCDB = 5 OPN x (CO + DP + BN>.

Ajoutons toute* ce* égalités membre h membre, en observant que

MNPABD 4- MOPACD = OMNCAB + OPNCDB = MNOPABCD, « que MNP * MOP = OMN = OPN = i MNOP,

nous obtiendrons, en divisant par a,

MNOPABCD = ^ MNOP X (AM -f- BN 4- CO -+-DP);

Maintenant, si les arêtes latérales ne sont pas perpendiculaires A la base inférieure MNOP, on les remplice par les perpendiculaire* abaissées de» soumets de la base supérieure. — il est facile de voir que la proposition est également vraie.

Sentie. — Le quart de la somme des quatre arêtes 1 .itérai es est égal A la demi-somme de deux arêtes latérales opposées quelconques, on A la distance des centres des deux bases.

CoaoLLAiiE. — En menant nn plan parallèle A l’uue des bases d’un parallélépipède tronqué, A nne distance égale A la distance moyenne de cette base aux sommets opposés , on détermine nn parallélépipède équivalent au tronc proposé. •

One proposition semblable oe serait pas vraie pour un tronc de prisme quelconque; mais elle est exacte pour un tronc de prisme régulier : c’est A dire que

Tout tronc de prisme régulier est équivalent à un prisme régulier île m/me base et de même axe ;

Et que par conséquent il a pour mesure le produit de sa base [régulière par son are.

Un mode analogue dYvaluaiion c*t applicable à tout tronc de cylindre circulaire droit : e’eat-è-dire que

3gi* Tout tronc de cylindre circulaire droit (fig. 3qi) est équivalent h un cylindre circulaire droit dé même base et de même axe ;

Et qti’i/ a pour mesure le produit de sa base [circulaire] par son are»

Celle dernière proposition peut ae démontrer directement par le moyen déjà employé au numéro 5~Z (corail. 3); et elle est applicable h un cylindre cirv cul. 'lire oblique.

VOLUMES DES PYilAH.

N° 6i5. Théorème XIV-

Toul tronc de pyramide à bases parallèles est équivalent à la somme de trois pyramides qui auraient pour hauteur commune la hauteur du tronc , et pour bases respectives la base inférieure du tronc , sa base supérieure , et une moyenne proportionnelle entre ces deux bases. •

Nous supposerons d’abord que la figure proposée est un tronc de tétraèdre ABC DEF ( fig. 44,). Cela posé, menons les lig.44.. plans BCD, CDE : la figure se trouvera décomposée en trois tétraèdres ABCD, BCDE, et CDEF. Le premier a pour base ABC et pour hauteur celle du tronc ; le troisième a pour base DFJ1 et pour hauteur celle du tronc; il ne reste donc plus à considérer que le deuxième tétraèdre BCDE.Or, par le point D, et dans le plan de la face AE, menons DG parallèle à EB : DG sera aussi parallèle au plan BCEF (n« 393) ; donc le tétraèdre BCDE peut être remplacé par un tétraèdre qui aurait pour base BCE et pour sommet le point G, ou bien PCG pour hase et E pour sommet, et par conséquent même hauteur que le tronc. Pour évaluer sa base BCG, menons GI parallèle à AC? le triangle BGI sera .-gai au triangle EDF (ft“ ,y*yy et BCG sera moyen proportionnel (n« 35?. , coroll. i") entre ABC et GBI , et par conséquent entre ABC et DEF : ce qui achève de prouver la proposition.

Voyons maintenant le cas on le tronc , LMNOPQRSTU Fig.fjr. ( f'g- 44*) > n’est pas triangulaire; et complétons la pyramide VLMNOP. Nous pouvons imaginer, sur le plan de la hase, un triangle ABC équivalent au polygone LMNOP; sur ce triangle comme Irase , construisons un tétraèdre ZABC ayant son sommet sur une droite parallèle A la base , menée j>ar le point V : le tétraèdre et la pyrainidc seront équivalens. Prolongeons , au travers du tétraèdre , le plan QRSTÜ : nous y déterminerons