UT. IV; CHAP. III; § II

une section DEF équivalente au polygone QRSTU ( n° 5y5 , scol. i") ; par conséquent le tétraèdre partiel ZDEF et la pyramide partielle YQUSTU seront équivalent comme ayant des bases équivalentes et même hauteur. Donc les deux troncs seront équivalent ; et comme ils ont d’ailleurs les bases respectivement équivalentes et même hauteur, le théorème démontré pour l’un est également vrai pour l’autre.

Scolie. — La proposition précédente , ainsi que la démons- , tration même [à quelques mots près], est applicable à un cône tronqué à bases parallèles , et quelconque d’ailleurs. — Ainsi , en particulier,

Fig. 3t». Un tronc de cône circulaire droit à bases parallèles ( fig 399) est équivalent il la somme de trois cônes de même hauteur, ayant respectivement pour bases la base inférieure du tronc , sa base supérieure , et un troisième cercle moyen proportionnel entre les deux premiers.

K* Gi(i Autre remarque sur la mesure îles polyèdre*. — Le moyen indiqué cj-dcssus ,'no fil a) pour évaluer le volume d'un polyèdre, n’est pat le seul dont on puisse st* servit. Ainsi par exemple, on peut employer nue méthode analogue è celle du numéro 347, relative ?» la mesure des aire» des polygones. -Pour cela, on suppose nn plan mené dans l'intérieur du polyèdre ; puis on abaisse, par chacune des arêtes, des plans perpendiculaires au premier. Le polvèdrc sc trouve ainsi décomposé en prismes tronques et en pynuuidrs, que l’on évalue chacun en particulier.

Ce moyen, souvent impraticable, peut être remplacé par un autre (voyez le n° 347) 3ni consiste h enclore le polyèdre dans une ligure moins iriégulière, telle qu’un parulliU-ptpûde , dont on évalue le volume; puis à déterminer les volumes. des espaces vides, cl h les retrancher du. premier.

Quant aux cspuces termines par des surfaces courbes, il est facile de les évaluer appro*inuitiuement par un moyen analogue ( voyez le n° 347). La question pouvant aisément sc ramener au cas d'un espace compris cotre une surface coût be et uoei>n*e plane, supposons que l'on partage ccrtc base en petites poitions rectangulaires égales entre elles, au moyen d’n ne série 4c parallèles équidistantes, perpendiculaires h une autre série de parallèles aussi équidistante»; puis , que psi chacune de ces droites on élève des plans {NTpcnciicnlaircs \ la buse. L'espace h évaluer se trouvera ainsi décomposé en portions que l’on pourra considérer comme des parallélépipèdes rectangles tronqué* ; car si les plans parallèles sont. sulTisauiment rapproches, le* quadrtl. itères courbes qui terminent ces parallélépipèdes seront à

— VOLUMES ; PHOML. ^85

)>cn pic» plan». Fn faisant la somme de tous le» parallélépipèdes tronque» , on trouvera pour mesure roui (ante : le produit de l’aire d’un petit rectangle de la bâte, multipliée par la tomme de toutes les perpendiculaires.

Dans l'emploi de celte méthode, il T a plusieurs observations h faire : — 1° le» petite» .portion» de la hase , adjacentes il son contour, ne sont en general que des portions de rectangles : on peut négliger celles qui , à vue, paraissent moindres que la moitié d'un reclauglc , et considérer les autres comme des rectangles entiers ; — a” les perpendiculaire» extrêmes doivent être considérées comme nulle» ; — 3“ cependant , si l’espace que l’on considère avait en outre des faces pl mes faisant en même temps partie des plans perpendiculaires il la hase , on ne devrait faire entrer dans la somme des perpendiculaires, que lu moitié de celle» des bords paire qu’elles n’appartiennent qu’il deux parallélépipèdes, cl le quart seulement de celles qui servent il’urbtes parce qu’elle» n’appartiennent qu'il un parallélépipède ivnjree le Cours normal de M. DüPtii).

Enfin l’on peut encore, pour évaluer l'espace te. miné par une surface courbe, y supposer tracées des lignes qui seraient les intersections de celte surface par une série de plans parallèles. Alors, en supposant ces plans suffisamment rapproches, l'espace à mesurer se trouvera partage en tranches assez minces pour qu’on puisse les considérer comme terminées, soit par des surfaces planes, soit par des portions de surfaces cyliudriqnrs , ou coniques, ou sphériques. Alors, on mesurera chacune de ces tranches, et l’on fera la somme de» résultats obtenu» (royes la Géométrie appliquée à l'industrie, de M. Bercert,.

Dans le par., graphe mirant, nous allons nous occuper spécialement des espaces terminés par la surface sphériqne.

N* 617. Problème I.

Étant donnée Taretc d’un cône droit, égale da5",i5, et sa hauteur 17*, 3, livuper son volume ( voyei le n° 578).

Four cela on a ( n° 6 12 )

F= g. ir X 17,3 X 4*i45 X 7,85; log. F= log. w + log. 1 7,3-f-/og-. 42,45 -f log. 7,85— log. Z, ou , effectuant les calculs ,

log. V = 3,7808221 = log. 6037,*! ; d’où ^r=6o37*f,oi