LIV, IV; CHAP. III ; $ III

N" 618. Problème II.

On demande le volume d un tronc de pyramide à bases parallèles . dont la hauteur est de 9" ,6, la petite base ayant a”5, 25 de surface , et les deux côtés de la grande base étant à leurs homologues de la petite dans le rapport de 4 à 3.

En nommant x l’aire de la grande base, on a d’abord : x : 2,25 " 4* * 3% d’où x = 4.

Le volume cherché sera donc ( n° 61 5 ) :

N* G 19. Problème II ï.

Les rayons des bases d un cône tronqué ont 3" et 5" , et son arite a f]m de longueur; — on demande son volume (voyez le n* 5^6).

Ce volume a pour mesure (n°6i5 , scol.) : l — a’ X (3* + 5* + 3. 5) = 49.*V5 = 344mc,2i6.

§ III. — Du Volume de la Sphère.

N° 620. I.emme I. Fig. 44^^ 444» et 445.

Fip.443 » Le volume de l'espace engendré par la révolution dun 44 *■ triangle quelconque OAB tournant autour d une droite MN menée dans son plan par un de ses sommets 0, est équivalent à celui d’une pyramide qui aurait une base équivalente à la surface engendrée par le côté AB opposé à ce sommet, et pour hauteur la hauteur OP du triangle , qui correspond à ce côté

? le

— VOLUME DE LA SPHÈRE. 4

considère connue base ; — et par conséquent il a pour mesure Je tiers du produit de la surface engendrée par le côté apposé à ce sommet, multipliée par la hauteur du triangle, qui correspond à ce cô(é pris pour base.

Pour démontrer cette proposition , nous considérerons trois cas.

i" Cas (fig. 443) î — L’axe de révolution se confondant Fig. 443. avec l’un des côtés OA.

Abaissons du sommet opposé B la perpendiculaire B b sur l’axe de révolution , et d’un second soiinnet O la perpendiculaire OP sur la base AB du triangle. Nous aurons , en désignant par vol. OAB le volume de l’espace engendré par le triangle OAB, par cercle AB l’aire du cercle qui a pour rayon AB , par surf. AB l’aire de la surface engendrée par la droite AB daus la révolution du triangle [et ainsi des autres] :

vol. OAB = vol. AB b 4- vol. OB b

= ^ cercle AB X AA 4- ^ cercle AB X OA

= ^ cercle AB X AO.

Mais on a ( n° 5y4 , scol.)

cercle AB : surf. AB :: AB : AB; eu outre, de la similitude des triangles AAB, APO, il résulte

ab : ab :: op : ao;

par conséquent, cercle AB : surf. AB “ OP ; AO; d’où cercle AB X AO = surf. AB X OP,

et enfin vol. AQB = | surf. AB X OP.

N. D. — La perpendiculaire OP pourrait être extérieure au triangle , ou sc confondre avec le côté OB : le résultat serait le même.