UV. IV; CHAT. III
Fig-444- a* Cas ( fig. 444) 5 — ’ L'axe de révolution étant rencontré en un point R par la base AB du triangle, suffisamment prolongée.
Nous aurons alors , d’après la démonstration précédente, en conservant les mêmes notations ,
vol. OAB = vol. ORB — vol. ORA
= ^ surf. RB X OP — ^ surf. RA X OP = ^ surf. AB X OP,
FÎ6-445. 3e Cas (fig. 445) : — L’axe de révolution étant parallèle à la base AB du triangle.
Dans ce cas, soit de plus, An la perpendiculaire abaissée d« point A sur l’axe MN : les trois perpendiculaires A a, Bô, OP, seront égales ; et nous aurons
vol. OAB = vol. aAYib — vol. OA a — vol. OBA
= cercle 0 P X ^ cercle OP X Oa — cercle OP X OA
=cerc/eOPx«£ — ~ cercle OP X ab
= — cercle OP X ab. *
Or (n° 57a, scol .) , cercle OP C surf. AB ;; OP ; a .abt
d’où a. cercle OP X ab = surf AB X OP;
donc vol. OAB = ^surf ABx OP.
N. B. — La proposition est toujours vraie, quelle que soit la situation de la perpendiculaire OP.
A'eolic i«r. — Il y aurait encore h examiner le cas où l’axe de révolution coupe la snrfacedu triangle: on obtiendrait alors une portion de volume qui , étant produite deux fois dans la revoluliou de ce triangle , sc trouverais
— VOLUME DE LA SPHERE
aussi compris** deux fois dans l'expression de la mesure. Mais cette circon*«pjg tance ne «levant pas sc présenter dans les applications que nous aurous à — 43$ faire de la proposition precedente, il est inutile de nous en occuper.
Scol. 2. — Dana le cas du triangle isocèle , la mesure trouvée dans le théorème ci-dessus, devient
2 ar.0P.tf6.0P = | ar.OP*. ab.
N° 621. Lemme II. Fig. 44®*
Le volume de l'espace engendré par la révolution d’un sec- Fig. 446. leur poljgonal régulier OABCD tournant autour d’une droite MN qui passe par son centre 0 , e&t le même que celui d’une pyramide dont la base serait équivalente à la surface engendrée par la révolution de la ligne brisée régulière qui sert de base à ce secteur, et dont la hauteur serait égale au rayon du cercle inscrit ; — et par conséquent il a pour mesure le tiers du produit de sa surface extérieure multipliée par l’ apothème.
En effet, en nommant OP, OQ, OR, les perpendiculaires abaissées du centre 0 sur les côtés AB, BC, CD, on a , d’après le lemme précédent (u06ao) ,
vol. OAB = ^ surf. AB X OP,
vol. OBC = surf. BC x OQ, vol. OCD z=^surf. CD x OR,
or
donc
OP = OQ = OR. ... s
vol. OABCD = i surf. ABCD X OP ;
.C. Q.JF. V.
^go HT. IV; chap. Ul; § itl. —
Corollaire. — Le volume proposé a pour mesure les deux tiers du produit de l’aire du cercle inscrit, multipliée par la projection de la ligne génératrice sur l’axe ( voyez le u° 583).
Scolie. — La proposition s’applique également à un demipolygone régulier dont les extrémités aboutissent à l’axe.
N° 62a. Théorème XV. Fig. 288.
Fig.a88. Le volume d une sphère OA. est le même que celui d’une pyramide dont la base serait équivalente à la surface sphérique , et qui aurait le rayon pour hauteur.
Cette proposition résulte de ce que , la surface sphérique pouvant être considérée comme composée d’une infinité de polygones plans infiniment petits , la sphère elle-même peut être considérée comme composée de pyramides ayant pour bases ces polygones, et le rayon pour hauteur. Elle se déduirait eucore de ce que la sphère peut être regardée comme la limite de l’espace engendré par uu demi-polygone régulier tournant autour de son diamètre (n® 62 1 , scol. ).
. Au reste, la proposition se démontre rigoureusement en faisant voir par les moyons ordinaires {voyez les n” 348, 584, ota.), que le tiers du produit du la surface extérieure multipliée par le rayon, ne saurait être la mesure d’une sphère plus petite ni d’une sphère plus grande que la sphère OA.
Corollaire. — Si l’on nomme r le rayon de la sphère et d son diamètre , son volume aura pour expression
jirr3 ou
Scolie i". — Les polyèdres [ou figures quelconques] circonscrits à la sphère ont pour mesure, le tiers du produit de leurs surfaces respectives multipliées par le rayon ; — et pav conséquent leurs volumes sont pro/tortionncls aux surfaces.
— VOLUME DE LA SPHÈRE
Scol. 2. — Par suhe de la remarque precedente ,
Le volume de la sphère , celui du cylindre circonscrit , et celui du cône équilatéral circonscrit (fig. , sont entre Fig. 4^5, eux :: 4:6:9;
C’est ce qü’il serait d’ailleurs très facile de démontrer directement.
Le volume du cylindre est donc moyen proportionnel entre les deux autres ; . . . etc.
Voyez le numéro 584 ( tcol. im).
Scol. 3. — On démontrerait pareillement, qne — L; volume de la sphère , celui du cylindre équilatéral inscrit , et celui du cène équilatéral inscrit (fig. 4*6)» sont entre eux 3a ; 13 \/-x ; 9 ; Fig-4a6.
Le volumedu cylindre est encore moyen proportionnel entre les deux autres. '
[Vojrei le numéro 584 (scol. a).]
Scol. 4- — La sphère est plus grande que tout polyèdre régulier de m/me surface. — Il en e»t de même d’an polyèdre quelconque (voyez le a° 348, corail, a) ; et de 11 réiulteque — La sphère est la figure qui , pour une surface donnée , a le maximum de volume , ou qui, pour un volume donné , a le mummdx de surface.
N° 6a3. Théorème XVI. Fig. 44?*
Tout secteur sphérique OBAB' est équivalent à une pyra- Fig. 447. mi de dont la base serait équivalente à la calotte correspondante , et qui aurait le rayon pour hauteur.
Même raisonnement que dans le cas d’une sphère (n° 622).
Ainsi, pour prouver parla réduction à V absurde , que le tiers du produit de l’aire de la calotte multipliée par le rayon , n’est pas la mesure d’un espace plus grand ni d’un espace plus petit :
Considérons un secteur sphérique concentrique au premier, correspondant à une calotte bab' dont la base soit sur un même plan que celle de la calotte BAB' (voyez le n0 585);
4çp U». CHAI*. III ; § lit. —
et supposons que l’on ait
^ turf. cal. BAB' X OA = vol. sert. Obab' .
Cela pose , inscrivons une ligne polygouale régulière à l’arc générateur AB ; et soit OP son apothème : nous aurons
^ surf. pol. BPAB' X OP = vol. pol. OBPAB';
ce qui est absurde, puisque, «l’une part,
surf. pol. BPAB” surf. cal. BAB',
et OP < OA ,
tandis que , d’autre part ,
vol: pol. OBPAB' f> vol. sect. Obab'.
N. B. — La démonstration précédente supposant que le secteur est moindre qu’une detni-sphère , il faut pour le cas opposé , opérer par soustraction , connue dans le numéro 585.
Corollaire itr. — Le volume d’un secteur sphérique est à celui de la sphère entière , comme la hauteur de la calotte qui lui sert de base est au diamètre }
Il a pour mesure le tiers du produit de la calotte par le rujon, ou f *rsA,ou ja-d’A, en nommant h la hauteur de la calotte, rie rayon de la sphère, et d son diamètre {voyez le n* 585, coroll. 2 ).
Coroll. 2. — La différence de deux secteurs OACA', OBCB' Fig. 448. (ûg. 448) , correspondant respectivement à deux calottes dont les bases sont parallèles, a pour mesure, le tiers du produit de l’aire de la zone correspondante multipliée par le rayon , ou f t. OA* X DE.
Fig. 8. Scolie t*r. — Le volume du segment sphérique ACB (6g. 8) peut s’obtenir en retranchant du secteur OACB le cône OAB ; le volume du segment ADB s’obtient au contraire en ajoutant le même cône au secteur OADB.
— VOLUME DE U SPHÈRE. 4g3
Scol. 2. — Le volume d’une tranche de sphère, telle que ABB'A' (fig. 448), s’obtient eu retranchant le segment BCB' Fig. 448. du segment ACA'.
fc * * , •
• N* 624. Théorème XVII. Fig. 448.
Le volume de l’espace engendré par la révolution d’un segment circulaire AKB tournant autour d’un axe OC mené dans son plan , par son centre O , [ et extérieur â ce segment ] , est à celui de la sphère qui aurait pùur diamètre la corde AB de ce segment , comme la projection DE de celte corde sur l'axe , est à la corde elle-même.
Soit OP la perpendiculaire abaissée du centre sur la corde A B, et BL la perpeudiculaire abaissée du point B sur la droite AD; on aura : .
vol. OAKB = ^».0A* X DE (n“ 6a3, eoroll. %),
et vo/.OAPB =^«r.OP'xDE (n°62o);
«Tou Ton tire, eu retranchant, r
vol. AKB = (OA’ — OP*) X DE = *x. AP’ X de ;
ou bien encore
vol. AKB = g*. AB’ x DE ;
Scolie. — Lorsque l’axe est parallèle A la corde du segment , le volume devient un anneau équivalent à la sphère de meme hauteur.
LIT. IV; CHAT. III; $ m. —
N° 6a5. Théorème XVIII. Fig. 448.
Fig. 448. Une tranche sphérique AKBB'K'A' est équivalente à la * demi- somme de deux cylindres de meme hauteur DE que la tranche, et ayant respectivement pour hases celles de la tranche , plus une sphère ayant cette même hauteur pour diamètre.
On a (nB 624) vol. AKB = g». AB* X DE, et
vol. ABED = |!r(AD‘4-BE* + ADxBE)xDE(ü06i5> scol.)-%
d'où vol. AKBED, ou , ce qui est la même chose,
AKBB'K'A' =g* (b . A D* -4- a . BE’ + a . AD x BE + AB’) X DE ; mais ' AB*=5sBL*+ AL*=sDE* + (AD — BE)*
