AD + DB < AC 4- CB

Ce qu'il fallait démontrer.

N° 8i. Théorème I. Fig. 41.

Fig.^i. Pur un point O pris sur une droite AB, — i* On peut toujours élever une perpendiculaire ; — et — 2° On n en peut élever qu’une [dans un même plan avec la droite].

i° La première partie de la proposition est évidente, puisqu’elle revient à dire (n° 76) que par le point 0 l’on peut toujours imaginer une droite OP qui fasse avec AB deux angles adjacens égaux , AOP, POB.

20 La seconde partie n’est pas moins visible : car, pour que l’on pût élever (n® 76) sur AB, et d’un même côté , les deux perpendiculaires OP , OG , il faudrait que chacune des deux droites OP , OG , fit avec AB deux angles adjacens égaux ; et alors on aurait

AOP = AOG = BOG =. BOP ;

Ce qui est absurde ( n° 3o). — Quant à deux perpendiculaires distinctes, élevées par un même point O, l’une d'un côté de AB, l’autre de l’autre, leur existence simultanée est également impossible d’après le numéro 78 (3°).

N° 82. Théorème II. Fig. 42.

Fig. 4s. D'un point O pris hors d'une droite AB, — t° On peut toujours abaisser une perpendiculaire y — et — 2" On nenpeut abaisser qu’une.

PERPENDICULAIRES ; etc. 5q

»® Du point O à un point quelconque G pris sur AB , menons Fig- 4'*la droite OG ; puis, faisons tourner la figure autour de AB comme charnière, de manière à la rabattre, dans son plan primitif, de l’autre côté de AB : et soit QfG la nouvelle position de la droite OG. Alors, en menant la droite OPO', coupant AB en P, cette droite sera perpendiculaire à AB (n° 76) puisque les angles OPG , O' PG , seront nécessairement égaux.

a® Je dis qu’il est impossible qu’aucune droite passant par le point O et différente de OP, telle, par exemple, que la droite OG, soit perpendiculaire à AB. En effet, les deux seginens de droites GO, GO', devraient être, d’après ce qui précède , les prolongemcns l’un de l’autre , puisqu’ils sont tous deux perpendiculaires à AB, et que par un point pris sur une droite , il ne peut passer qu’une seule perpendiculaire à cette droite (n® 81 , 2°). Et comme d’ailleurs PO et PO' font partie d’uue droite unique , il s’ensuivrait que par deux points , O, O', on pourrait mener deux droites différentes, OGO', OPO'; —

Ce qui est absurde.

N® 85. Théorème III. Fig. 43.

La perpendiculaire OC abaissée sur une droite AB , d’un Fig. 43. point extérieur O , est le plus court chemin du point à la droite.

D’abord , la ligne droite étant le plus court chemin entre deux' points donnés, il ne peut y avoir à comparer que des droites menées du point O aux différens points de la droite AB.

Cela posé, prouvons que la perpendiculaire OC est plus courte que toute oblique OD. Pour cela, faisons tourner la portion de figure OCD autour de AB comme charnière, de manière à la rabattre, dans son plan primitif, de l’autre côté de AB, en 0,CD : nous aurons

de plus, OCO' étant une ligne droite (n® 81, 2°), il en résultera :

OC -f- O'C < OD -|- O'D , ou 2.OC < 2.0D ;

58 UV. I ; CHAP. Ij J l.~

Fig.43. d’où , en prenant la moitié de part et d’autre ,