OD < OE

JV. fi. — Le raisonnement précédent semblerait supposer que les obliques, OD, OE, dont il s’agit, sont situées du

PERPENDICULAIRES ; etC. 5g

même côté de la perpendiculaire; mais il n’en est pas ainsi, fc'ig-45. parce que [d après i°] l’on peut remplacer OD par son égalé OD'.

Corollaire. — Entre une droite indéfinie et un point extérieur on ne saurait mener plus de deux droites égales :

Sans quoi il existerait au moins , soit deux obliques égales d’un même côté de la perpendiculaire , soit une oblique égale à cette perpendiculaire.

Scolie. — Dans le théorème précédent, on a fait toutes les hypothèses possibles sur la grandeur des écartemens relatifs de deux obliques, par rapport à une perpendiculaire,

[ toutes ces lignes étant supposées menées à une même droite d’un même point extérieur] ; et de plus, ces diverses hypothèses ont conduit à des conséquences toutes contradictoires entre elles : donc les réciproques des deux propositions que comprend, à proprement parler, le théorème iv , sont vraies , d’après le principe général du numéro 5i.

Ainsi Réciproquement : — Si d’un point extérieur à une droite, on mène une perpendiculaire et différentes obliques à cette droite :

i° Deux obliques égales s’écartent également de la perpendiculaire ;

a0 De deux obliques inégales, la plus longue s’écarte le plus de la perpendiculaire.

N" 85. Théorème V. Fig. 46.

i# Tout point E de la perpendiculaire CD élevée sur une Fig. 46. droite [déterminée de longueur] AB, par son milieu C, est également distant des deux extrémités de la droite ;

2° Tout point F extérieur à la perpendiculaire est inégalement distant des mêmes extrémités.

En effet : — i° Menons les droites AE, BE : nous aurons AE œ BE , puisque AC = BC (n° 84) ;

60 LIV, I; en AP. I; $ *• —

Fig. 4c. 2° Menons AF, BF * et par le point E où BF coupe CD,

menons encore AE : nous' aurons

AF ^ AE EF, ou AF BE EF,

ou enfin AF < BF.

Réciproque qui 11’a pas besoin de démonstration (n° 5i) :

1” Tout point également distant des extrémités d’une droite appartient à la perpendiculaire menée par son milieu;

2° Tout point inégalement distant des mêmes extrémités est extérieur à la perpendiculaire.

Corollaire. — La perpendiculaire élevée sur une droite par son milieu, est le lieu géométrique de tous les points [du plan de la figure] qui sont également distans de ses extrémités.

Scoi.ie 1". — Le théorème précédent donne encore lieu à plusieurs autres propositions que l’on peut considérer comme autant de nouvelles réciproques, et qui sont évidentes d’après le principe du numéro 4q. — Nous ne citerons que la suivante :

Si deux points, D, E (fig. 46), sont, chacun en particulier, à une même distance de deux autres points , A , B , la droite DE menée par les deux premiers est perpendiculaire sur le milieu de la droite AB qui joint les deux derniers.

Scol. 2. — O11 peut ajouter à la seconde partie de l’énoncé du théorème précédent et de ses réciproques, que le point F et le point A [ou celle des deux extrémités A , B, qui est la plus rapprochée de F(] sont toujours du meme côté de la perpendiculaire CD.

Fis- 47

et 4S.

N° 86. Remarque. — Nous avons rencontré dans le courant de ce chapitre , et nous rencontrerons encore, plusieurs circonstances où le rabattement seul suffit (n° 45) pour faire coïncider deux ligures ou deux portions de figure. La théorie des perpendiculaires nous met à même de conclure que pareille chose a lieu pour toute figure plane, ABCDE... A’B'C'D'E'... (fig. 47 et 4®) • d°nl ?es points sont , deux à deux , distribués

SÉCANTE» ; etc. 6l

de part et d' autre d une certaine divile MN de ce plan, à une Fig. <7 même distance et sur une même perpendiculaire pour chaque **

couple de points.

La figure est alors dite symétrique par rapport à la droite MN , qui en est un axe de symétrie (n° 44)-

On peut définir simplement Yaxe de symétrie en disant que c’est une droite qui partage une figure en deux moitiés , de telle manière qu'en pliant cette figure suivant la droite , les deux moitiés se superposent inversement.

C’est , par exemple , ce qui arrive pour la perpendiculaire élevée sur une droite par son milieu ( n° 85), pour la bissectrice d’un angle (n° 6g) , etc.

La considération des axe» de symétrie peut tue utile pour simplifier beaucoup de démonstrations : car bien souvent , des considérations analogues à celles des numéros .{8 et 4ÿ, rendent évidente (dans une Ggnrc , l’existence de pareilles droites; et alors on peut conclure immédiatement l'égalité des deux parties de cette figure. — Ainsi par exemple , avant même que la proposition du numéro 18 soit démontrée, il est évident que,

Tout diamètre d’un cercle en est un axe de symétrie :

Car il n’y a aucune raison pour que, si l’on pliait la figure snivant ce diamètre, l’une des deux parties débortIAt l’autre; ou si l’on aime mieux, il ne saurait exister de pareille raison qui ne fût applicable A chacune des deux parties en même temps ; et alors chacune d’elles devrait, A la fois et dans les mêmes points, déborder l’antre et en être débordée; — Ce qui est absurde.

Cette manière de raisonner est tout aussi rigoureuse que la forme de démonstration employée dans le numéro cité(n° 18 ) ; elle est applicable dans un grand nombre de circonstances^, et particulièrement dans plusieurs des théorèmes qui suivront.

§ II. — Des Perpendiculaires considérées dans le Cercle. — Des Droites Extérieures , Tangentes , et Sécantes à la Circonférence.

N° 87. Théorème VI.

Une droite et une circonférence de cercle ne peuvent se rencontrer en plus de deux points.

En effet, les rayons menés aux points communs sont des droites égales ; et il ne peut y en avoir plus de deux (u° 84, coroll ).