LIV. I ; CBAP. I ; Ç II

Corollaire. — T'ouïe sécante à un cercle coupe la circonférence en deux points, et non davantage.

[On verra par la suite , qae certaines antre* courbe* peuvent avoir avec One sécante , plus de deux point* commun*. ]

Scolie. — Une droite et un cercle situés dans un mêiue plan {voyez le n° 21) , ne peuvent avoir que trois positions relatives essentiellement différentes î — la droite peut être Fig 49- x° Extérieure au cercle [ telle qué MN] (fig 49)*

Fig. 14. 20 Tangente au cercle [en un point A, telle que ST]

3° Sécante au cercle [en deux points A, B] (fig. i4);

N° 88. Théorème VII. Fig. 10.

Fig. 10. Le milieu I d une corde AB et les milieux , C, D, des arcs correspondons , sont toujours sur un même diamètre perpendiculaire à la corde.

En effet, en répétant le raisonnement du numéro ig, on voit d’abord que le diamètre mené par le milieu C de l’arc ACD, passe aussi par le milieu D de l’arc ADB restant de la circonférence , ainsi que par le milieu I de la corde commune.

En second lieu , puisque , dans la superposition des demicercles CAD et CBD (n° ig) , les demi-cordes IA et IB prennent la même direction , il s’ensuit que le diamètre COD et la corde AB sont perpendiculaires (n° 76).

Scolie i". — La droite CD satisfait aux cinq conditions suivantes : — elle passe [i°] par le centre 0, [2°] par le point I, [3° et 4°jparlespointsC, D ;et [5°] elle est perpendiculaire à AB. — Or, deux de ces conditions entralnanttouteslesautres(n°*B, et 81 ou 82) , on peut en conclure, conformément au principe du numéro 4gr l’existence d’autant de propositions distinctes et réciproques les unes des autres, qu’il y a de manières de combiner 5 choses en les prenant 2 à 2. — Nous citerons particulièrement les trois propositions suivantes : '

SÉCANTES ; etc. 63

Réciproque i". — Le rayon perpendiculaire à une corde divise cette corde et les arcs correspondant , chacun en deux parties égales ;

Rkcipr. a. — La perpendiculaire élevée sur une corde par son milieu , contient les milieux des arcs correspondant ainsi que le centre ;

Récipr. 3. — La flèche (n° 19), IC ou ID ( fig. 10) , d'un Fig.10. arc , ACB ou ADB , est perpendiculaire à sa corde AB.

Corollaire Deux cordes ne peuvent se couper mutuellement en deux

parties égales sans passera ta fois par le centre :

Car «i l’on menait une droite , du centre au point de rencontre des deux cordes, cette droite serait h la foi» perpendiculaire il toutes deux; — Ce qui est absurde ( n° 8t, i°).

Scol. a. — Le segment de droite AI (fig. 10), perpendiculaire au diamètre CD , se nomme le Sinus des arcs AC et AD. — On le définit généralement ainsi : la perpendiculaire , déterminée de longueur, abaissée d’une extrémité de l’arc , sur le rayon qui aboutit à l’autre extrémité. — Ainsi, le sinus d’un arc est la demi-corde de l’arc double. — [Tout arc a deux sinus d’après la définition, puisqu’il a deux extrémités; mais ces deux sinus sont égaux en longueur.]

Le sinus d'urt arc est plus petit que la corde de cet arc (110 83), et à plus forte raison plus petit que l’arc lui-même (n° 5).

Le sinus <f un quadrant (n° ig) est égal au rayon.

Le même segment de droite AI, perpendiculaire au diamètre CD, est eucore dit une ordonnée au diamètre.

N° 89. Théorème VIII. Fig. i/f.

La perpendiculaire ST élevée à l’extrémité d'un rayon Fig. if. OA , est tangente en ce point à la circonférence ; — et réciproquement.

En effet, tout autre point de la perpendiculaire ST est plus distant du centre, que le point A ; donc cette perpendiculaire n’a que ce point commun avec la circonférence : donc elle lui est tangente en ce point (n° ai).

Réciproque i**. — La tangente est perpendiculaire au rayon qui aboutit au point de tangence.

64 L1V. I ; CIIAP. I ; $ II. —

En effet, tout autre point de la tangente est plus distant r du ceutre , que le point de tangence ; donc , etc. (n° 83).

Corollaire. — Parun point donné sur une circonjércnce on ne

peut mener qu'une seule tangente (n“ 81 , a0).

Scolie i". — Ou peut faire , sur ce the'orèine , une remarque analogue à celle du numéro précédent (n° 88, scol. i*'); d’où résulte encore l’existence des nouvelles réciproques suivantes : RéCIPR. 2. — La perpendiculaire abaissée du centre sur la tangente , passe par le point de tangence.

Rkcipr. 3. — La perpendiculaire élevée au point de tangence sur la tangente , passe par le centre ;

Sent. a. — Le thénrime vm pourrait aussi te déduire comme corollaire, du thénrime vu, par la raison que celui-ci ne doil pas cesser d’avoir lieu quand la sécante [ou la corde piolongcc (n* al)] devient tangente.

N° 90. Théorème IX. Fig. 5o.

Fig. 5o. Dans un même cercle 0 [ou dans des cercles égaux] :

i° A des arcs égaux correspondent des cordes égales , et ces cordes sont également distantes du centre ;

a° A un plus grand arc correspond une plus » grande corde , et celle plus grande corde est la moins distante du centre t [On suppose, dans l’énoncé, que les arcs ne dépassent pas une demi-circonférence’] .

i° La première partie de ce théorème [dont nous avons déjà fait usage (u° 20)], n’a , pour ainsi dire, besoin d’aucune démonstration, puisque l’on peut opérer immédiatement la superposition sans déplacer le centre commun, et par conséquent sans changer les distances de ce centre aux cordes des nrcs.

20 Soient deux arcs inégaux , un plus grand ACB, et un plus petit ACB', que l’on peut [ d'après i°J supposer placés de telle manière qu’ils commencent en un même point A, et se trouvent du même côté par rapport à ce point ; soient encore 01, 01', les perpendiculaires abaissées du centre 0 respectivement sur les cordes AB. AB'; soit enfin G le point d’intersection de 01' avec AB.

— CORDES ; etc. 65

^ Il faut remarquer d’abord, que, le point B' e’tant situé en- Fig.5o tre le point A et le point B , de même le milieu de l’arc ACB' le serait entre le point A et le milieu de l’arc ACB, et que par conséquent le point G se trouve entre le même point A et le point I. — Cela posé : ]

Il s’agit de démontrer que l’on a AB > AB', ou, ce qui revient au même , AI > AI' (n° 88) ; et que 01 01'.

Pour cela, on a d’abord :

AI > AG, et AG > AI' (n°83); donc à fortiori AI > AI'.

En second lieu, on a de même :

01 < OG , et 0G<01'; donc 01 <0I'.

Scolie i"- — Le théorème îx étant, en réalité, la réunion de plusieurs théorèmes distincts dans lesquels le sujet et l’hypothèse sont les mêmes (n°33), il en résulte également plusieurs réciproques différentes. Ces réciproques, qui sont nécessairement vraies d’après le principe général établi au numéro 5i , sont les suivantes : ^

Réciproque i". — Dans un même cercle, etc :

i° A des cordes égales correspondent des arcs égaux, et ces cordes sont également distantes du centre;

2° A une plus grande corde correspond un plus grand arc , et cette plus grande corde est la moins distante du centre :

[On suppose , etc ]

Récipr. 2. — i° Des cordes également distantes du centre sont égales, et il leur correspond des arcs égaux ;

2° Une corde moins distante du centre est plus grande,- et il lui correspond un plus grand arc.

Scol. 2. — Les propositions précédentes supposent essentiellement, et conformément à l’énoncé , que les arcs ne dépassent pas une demi-circonférence. Dans le cas contraire il faudrait modifier ces propositions, mais seulement dans ce qu’elles ont de relatif aux arcs.