OL < OK
d’où il suit (n* 90) que la corde PQ est plus grande que la corde MN.
Les réciproques de ce théorème sont évidentes (n» 5t).
§ III. — Continuation 'du précédent. — Des Cercles
Sécans , Tangens , Extérieurs et Intérieurs les uns aux autres.
^ ’ 95. Théorème XII. Fig. 53.
Deux circonférences de cercle ne peuvent avoir plus de deux Fig.53. points communs [sans se confondre ].
En effet, supposons que trois points ,A, B, C, puissent appartenir en meme temps à deux [ou, plus généralement, à plusieurs} circonférences. Lions ces points entre eux par deux droites,
AB, BC ; et par les milieux respectifs, M , N , de ces droites ] élevons des perpendiculaires. Chacune de ces perpendiculaires devant contenir le centre de toute circonférence passant par les trois points A , B , C (n»88), il s’ensuit que ces droites devront se rencontrer. Or, le point de rencontre étant nécessairement unique (n°* 81 , 2#; et 8), il s’ensuivra que les circonférences supposées, ayant même centre 0, et même rayon OA =0B=0C, seront identiques. C Q F D
Corollaire i*r. Par trots points donnés on ne peut faire passer qu’une seule circonférence.
Di
68 Liv. I ; CHAP. i ; § 111. —
[11 faut d’ailleurs évidemment que les trois points ne soient pas en ligne droite (n° 87 ). ]
Cokoi.l. 2. — Un même arc ne saurait appartenir à deux cercles dijjérens j
[D’où l’on peut conclure que, dans l’énoncé du théorème démontré au numéro 90 , mats non dans les réciproques , il n’est pas absolument nécessaire d’énoncer la condition de l’identité ou de l’égalité des cercles. ]
Scome. Deux cercles situés dans un même plan {voyez
le n°2i) , ne peuvent avoir que cinq positions relatives essentiellement différentes : ils peuvent être
i» Extérieurs l’un à T autre (fig. 54) ;
20 Tangens extérieurement (fig. 55);
3° Sécans (fig- 56);
4° Tangens intérieurement (fig. 5?);
5° Intérieurs l'un à Tautre (fig. 58).
Et de plus, ces cinq positions relatives sont les seules possibles.
La droite qui joint les deux centres se nomme la ligne des centres.
Les deux cercles peuvent avoir le même centre (fig. 5g) : alors ils sont dits concentriques ; et la portion de plan comprise entre leurs circonférences , se nomme une couronne circulaire.
Les deux cercles sont dits excentriques toutes les fois qu ils n’ont pas le même centre.
Fig. 54.
Fig. 55.
Fig.5P.
Fig. 57.
Fig. 58.
Fig. 59.
N° 94. Théorème XIII. Fig. 56.
... cr Lorsque deux circonférences, OM , O'M , se coupent, la % 3 ligne des centres est perpendiculaire à la corde MN qui joint les points d’intersection ; et elle la divise en deux
1 En effet , la perpendiculaire élevée sur le milieu P de la corde
— CERCLES SÉCANS ; etc. 6f)
MN commune aux deux cercles, devant passer par les deux Fig.5G. points 0 , <y (n° 88) , n’est autre chose que la ligne des centres (n°‘ 4g et q3 ) : — Ce qui démontre la proposition.
N° 95. Théorème XIV. Fig. 56.
Réciproquement : — Lorsque deux circonférences , OM,
O'M, ont un point commun M hors de la ligne des centres, elles sont sécantes.
E11 effet, d’après l’hypothèse , les trois points 0 , 0', M , forment un triangle (n°74) dans lequel OM etO'M sont les rayons respectifs des deux cercles. Cela posé , l’on peut , en renversant le triangle O.MO', former un second triangle ONO', symétrique du premier par rapport à la droite 00' (n° 86), et dans lequel on aura par conséquent
ON = OM et O'N = O'M ;
d’où il résulte que , le point N appartenant aussi aux deux circonférences, ces deux circonférences sont sécantes.
N° 96. Théorème XV. Fig. 55 et 5y.
Lorsque deux circonférences , OA , O'A , se touchent , la Fig. 65 ligne des centres passe par le point de contact. ct ' ’
En effet , si elle n’y passait pas , les deux circonférences seraient sécantes , d’après le théorème précédent (n8 cy5).
N8 97. Théorème XVI. Fig. 55 et S~r
Réciproquement: — Si deux circonjérences, OA , O' A, ont un point commun sur la ligne des centres , elles sont tangentes.
En effet, si elles étaient sécantes, la ligne des centres ne passerait pas par ce point commun (n8 g4).
Scolie Ier. — Les tleux derniers théorèmes , xv et xvi (n°* f)G et 97), compares aux deux théorèmes précédons, xm ct xir (n«* c)4 cl 9^)* peuvent Être considères comme présentant un cas particulier de ceux-ci : le cas
