LIV . I ; CHAP. I ; § IV

Ci. Scolie. — Pour que les deux circonférences décrites des points A et B comme centres respectifs, puissent se couper, il est nécessaire et suffisant que leur rayon commun soit plus grand que OA : car alors la distance des centres est moindre que la somme des rayons ; et d’ailleurs elle est plus grande que leur différence puisque cette différence est nulle. — ( Voyez le n° 98.)

N. B. — Il est bon de déterminer à la fois les deux points d’intersection des deux circonférences, parla raison que ces deux points et le point donné devant être tous les trois en ligne droite , il en résulte un moyen d’assurer et en même temps de vérifier l’exactitude de la construction.

N° ioo. Problème II. Fig. 6a.

D’un point pris hors if une droite [ supposée indéfinie] , abaisser une perpendiculaire à celte droite.

.63. Analyse. — Soit MN la droite donnée, et C le point donné. — Le pied de la perpendiculaire cherchée étant supposé en D, si l’on considère sur la droite MN , deux points, A, B, également distans dupointC, ils seront aussi également distans du point D (n° 84, récipr.) ; et de plus, tout point E également distant de A et de B, appartiendra à la perpendiculaire (n° 85, récipr.).

1" Construction. — i° Du point C comme centre, et d’un rayon arbitraire [mais qui toutefois doit être pris, à vue d’œil, plus grand que la perpendiculaire CD ] , décrivons un arc de cercle qui coupera la droite MN en deux points , A , B (n° 90, scol. 4). — 2° Des points A et B comme centres respectifs , et d’un même rayon aussi arbitraire [mais plus grand que la moitié de AB 3, décrivons deux arcs de cercle. — 3° Par l’un des points d’intersection , E, de ces arcs, et par le point C , menons la droite CE.

Cette droite sera la perpendiculaire cherchée , conformément à l’analyse ci-dessus.

— PR0BL. SDR LES PERPEND.

N. B. — Il est bon que le point E ne soit pas pris du même Fig.Gï. côte de la droite MN , que le point C : la direction de la perpendiculaire CD en est mieux déterminée.

Autre Analyse. — Comme CD ne peut être perpendiculaire à MN sans que réciproquement MN soit perpendiculaire à CD, il s’ensuit une autre manière de résoudre le même problème.

Soient donc maintenant , A le point donné, et CE la droite donnée.— La perpendiculaire cherchée passe par les extrémités de tout arc dont le milieu et le centre sont sur CE. — Cela posé:

2e Constr. — i° D’un point quelconque C pris sur la droite CE, connue centre , et du rayon CA , décrivons un arc AFB qui coupe en F la droite CE. — 2° Prenons , sur cet arc ,

FB égal à F A [voyez le n° 90). — 3° Menons la droite AB.

Cette droite est la perpendiculaire cherchée (n°85, scol. Ier).

N* 10 1. Problème III. Fig. G3.

Faire passer une perpendiculaire à une droite AB [[ dé tel- Fig.ü3. minée de longueur] , par son milieu.

Analyse. — Voyez le numéro 85 [scol. icr).

Construction. — 1° Des points A et B comme centres , et d’un même rayon quelconque [pourvu qu’il surpasse la moitié de AB [voyez le n° 98)] , décrivons des arcs de cercle qui se couperont en deux points C, D, situés, l’un d’un côté de la droite AB , l’autre de l’autre ( voyez le n° g4). — 20 Menons CD.

CD sera la droite cherchée ; et son point 0 d’intersection avec la droite AB sera le milieu de celle-ci.

N. B. — Il n’est pas nécessaire que les arcs de cercle qui se coupent en C et en D soient décrits du même rayon : il suffirait que ce fût le même rayon pour le point C , et le même pour le point D. Alors, les deux points C, D, pourraient être pris d’un même côté de AB; mais il est plus avantageux de les prendre de deux côtés différens [voyez le n° 100 , N. B. ).

r6 • LIV. I ; CIIAP. 1 ; $ IV.

Sc.olie. — La construction précédente ne suppose pas que la droite AB soit réellement tracée ; mais quand cette circonstance a lieu, la construction résout en même temps le problème suivant :

Trouver le milieu d’une droite [déterminée de longueur] ,

Ou — Partager une droite en deux parties égales ,

Et par suite — en 4, 8, 16 parties égales.

N° 102. Remarque. — La construction du problème précédent peut servir en outre à résoudre les questions suivantes :

1 ° Décrire sur une droite donnée, comme diamètre , une circonférence on une demi-circonférence :

L’opération ci— dessus eu fait connaître le centre, qui n’est autre que le milieu de la droite donnée ; et la moitié de cette droite en est le rayon.

2° Trouver le centre d'une circonférence ou d’un arc de cercle :

On marque trois points quelconques sur cette circonférence ou sur cet arc ; et par les milieux respectifs de deux des trois cordes qui lient ces trois points deux à deux, on fait passer des perpendiculaires : ces perpendiculaires se coupent nécessairement au centre cherché. — ( Voyez le n° q3.)

3° Par trois points donnés faire passer une circonférence :

On opère sur les trois points donnés, absolument comme dans la construction du problème précédent (20). — Mais le problème actuel (3°) présente un cas d’impossibilité, celui où les trois points donnés seraient en ligne droite ( voyez le n° 87 ) : car si cela arrivait, les perpendiculaires ne pourraient se rencontrer (]n° 82, 20). — Il ne peut y avoir qu'une solution (n° g3); d’où l’on peut conclure [ce qui sera d’ailleurs prouvé directement au chapitre îv] que les perpendiculaires menées par les milieux des droites qui lient les trois points donnés pris deux à deux , concourent toutes trois en un même point.

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— PROBL. SUR LES PERPEiVO .

4“ Par deux points donnés faire passer une circonférence qui ait son centre sur une droite donnée :

Le centre se trouve à l’intersection tle la droite donnée, avec la perpendiculaire menée par le milieu de la distaucc des deux points donnés. — Pour que le problème soit possible, il faut que la droite donnée ne soit pas perpendiculaire à la droite qui lie les deux points donnés {voyez 3°). — Il n’y a qu’une solution.

N. B. — Nous devons faire observer que la discussion (n°58) des deux problèmes précédens (3° et 4°) n’est pas complète , bien que nous ayons signalé un cas d’impossibilité auquel ils sont sujets : car il resterait à prouver que ce cas d’impossibilité est le seul , et c’est ce que nous ne pourrons faire qu’à la fin du chapitre tu. Cette sorte de lacune momentanée ne présente cependant aucun inconvénient; et d’ailleurs, la construction des deux problèmes dont il s’agit est trop simple et se déduit trop directement de ce qui précède, pour que nous ayons cru devoir dilFérer plus long-temps à en présenter la solution.

La même observation est applicable en tout point aux deux problèmes iv et v qui suivent (n°’ io3 et io4).

N° io5. Problème IV. Fig. 64.

Décrire un cercle qui touche en un point donné A une droite donnée MN, et qui passe par un second point B donné [hors de la droite].

Analyse. — Le centre du cercle cherché doit se trouver à la fois sur la perpendiculaire élevée à la droite MN par le point A (n° 8g, récipr. 2) , et sur la perpendiculaire menée par le milieu de AB (n° 88 , récipr. 2).

Construction. — i° Élevons, au point A , sur la droite MN, la perpendiculaire AO (n° 99). — 20 Par le milieu de AB faisons passer la perpendiculaire CO (n° 101).

Le point de rencontre, O, des deux perpendiculaires, sera le centre du cercle cherché; et son rayon sera égal à OA.

Fig. 64.