LIV. I ; CHAP. I ; § IV

Discussion. — La solution est unique ; — et le problème serait impossible si le second point donné e'tait sur la droite donnée.

[ Voyez le n° 87, et les problèmes 3° et 4° du numéro précédent (n° 102), dont celui-ci (n° io3) n’est qu’un cas particulier. — Voyez aussi le N. B. du même numéro 102. ]

N° 104. Problème V. Fig. 65.

Fig.Gâ. Décrire un cercle qui touche en un point donné A une circonférence donnée OA , et qui passe par un second point donné B [extérieur ou intérieur à cette circonférence].

Analyse. — Le centre du cercle cherché doit sc trouver à la fois sur la perpendiculaire menée par le milieu de AB , et sur la direction du rayon OA (n°* 88 et 96).

Construction. — i° Par le milieu de la droite AB faisons passer la perpendiculaire DC (n° 101). — 20 Menons le rayon OA ; et prolongeons-le au besoin.

Le point de rencontre C de ces deux droites sera le centre du cercle cherché ; et son rayon sera égal à CA.

Discussion. — Soit MN la perpendiculaire menée par le point A , au rayon OA.

Si les points donnés O et B sont, l’un d’un côté de MN, l’autre de l’autre , les deux cercles seront taugens extérieurement. — Ils seront tangens intérieurement si ces deux points sont du même côté de MN. — Le problème sera impossible si le point B est sur MN. — ( Voyez le n° 97 , scol. 2 .)

Lorsque les points 0 et B sont du même côté de MN , le cercle cherché est enveloppé par le cercle donné ou il l’enveloppe lui-même , suivant que le point B est intérieur ou extérieur au cercle donné. — Si le point B était sur la circonférence donnéeOA , les deux cercles se confondraient.

EnGn, lorsque le point B se trouvera sur la droite OA, le centre du cercle cherché sera le milieu même de AB.

[V 1 yez le n" g3. — Voyez encore le n° 102 , N. B.]

PROBL. SUR LES PERPEND.

N° io5. Problème VI.

Mener une tangente à un cercle , par un point donné sur sa circonférence.

Pour cela, il suffit d’élever une perpendiculaire à l’extrémité du rayon qui aboutit au point de tangence (n° 89), ce qui se fait en prolongeant d’abord ce rayon d’une quantité égale à sa longueur , et opérant ensuite , pour le reste de la construction , comme au numéro 99.

N* 106. Problème VII. Fig. 66.

Par un point T donné hors d’un cercle OA , mener une tan- Fig. 66. gente.

Analyse. — Soit TA la tangente demandée, et OA le rayon mené au point de tangence : les droites TA, OA, seront perpendiculaires entre elles (n° 89). — Soit pris, sur le prolongement de OA, une distance AP=OA ; et menons TP : les droites TO , TP, seront égales entre elles (n° 84). — Le point P se trouvera donc sur la circonférence décrite dn point T comme centre avec le rayon TO ; et le point de contact , A , sera le milieu de la corde [OP = 2. OA] qui sous- tend la portion OP de cette circonférence (n°* 88 et 89).

Construction. — i° Du point T comme centre, et du rayon TO , décrivons un arc de cercle suffisamment grand. — 20 Du point O comme centre , et d’un rayon égal au diamètre de la circonférence donnée, décrivons un petit arc de cercle qui coupe le premier en un point P. — 3° Menons la droite OP, coupant la circonférence donnée, en un point A» — 4“ Menons la droite TA.

Cette dernière droite sera la tangente demandée.

Discussion. — i° Pour que les circonférences TO et OP se coupent (n° 98) , il faut que OP soit moindre que le double de TO, ou que OA soit moindre que TO : ce qui revient à dire

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ig.Gfl. que le point donné T doit être hors du cercle OA. De plus , comme il y a nécessairement alors entre les deux circonférences TO et OP, deux points d’intersection, P, P', il en résulte aussi deux points de tangence, A, A.' , o\x deux tangentes, TA , TA', qui satisfont également à la question.

2° Si TO — OA , c’est-à-dire si le point T est sur la circonférence donnée, les deux circonférences TO, OA, sont alors égales : le point P, commun aux deux circonférences OP, TO , au lieu d’être un point d’intersection, est un point de contact, nécessairement situé sur la ligne , OT, des centres ; d’où il résulte que la droite OP se confond avec la droite OT , et le point A , milieu de OP, avec le point donné T. La construction ne donnant plus, pour le point de tangence cherché, que le point T lui-même, devient donc illusoire, en ce sens qu’au lieu de deux points pour déterminer la tangente , on n’en a plus qu’on seul. — [Ce résultat tient évidemment à ce que l’on veut appliquer au cas où le point donné est sur la circonférence, un mode de résolution auquel on n’a été amené que par suite de l’hypothèse où ce point serait extérieur].— Au reste, il n’y a maintenant, pour résoudre la question , qu’à élever une perpendiculaire à l’extrémité du rayon OT (voyez len° io5).

On n’obtient plus qu’one solution dans le cas actuel , parce que le rapprochement du point T avec la circonférence donnée OA , entraîne celui des deux points d’intersection , P, F, du cas précédent, avec la droite OT sur laquelle ils se réunissent en un seul point de contact ; et alors, les deux points A, A', se réunissant également au point T, les droites TA, TA', sc confondent avec la tangente au point T.

3° Enfin , il n’y a plus aucune solution possible si le point T est dans l’intérieur du cercle OA , parce que les circonférences OP et TO n’ont plus alors de point commun.

Scolie. — Par un point extérieur à un cercle , on peut toujours mener deux tangentes, et non davantage; — et ces tangentes sont égales.

PROBL. SLR LES PERPEMD.

N° 107. Problème VIII. Fig. 67.

Par deux points donnés , A, B, faire passer une circonférence d’un Fig.67 rayon donné OA.

Analyse. — Le centre du cercle cherche doit se trouver h une distance égalé A OA , de chacun des points A , B.

ir« Construction . — 1" Des points A, B, comme centres respectifs, et d'un rayon égal à OA, décrivons deux circonférences, lesquelles se coupe* ront généralement en deux points, O, 0/. — a® Des poiuis O et O', comme centres respectifs, et du même rayon donné, décrivons deux autres circonférences.

Chacune de ces circonférences satisfera h la question.

Discussion. — Si la distance des points donnes est moindre que le double do rayon donné , les circonférences décrites des points A , B , comme centres, se conperont en detnc points, O , O'; et il y aura deux solutions distinctes.

— S» AB est égal au double du rayon donné, les circonférences A, B, se toucheront en un point qui sera le centre du seul cercle qui puisse satisfaire h la question. — Enfin, si AB est plus grand que le double du rayon donne il n'y aura plus de point commun , ni par conséquent de solution.

Constr. — i® Par le milieu de AB faisons passer une perpendiculaire (n° 101). — i#*Dn point A ou dn point B comme centre, et d’un rayon égal au rayon donné, décrivons un petit arc de cercle qui coupe cette perpendiculaire en un point, O ou O7.

Ce point sera le centre d'un cercle qui satisfera aux conditions du problème.

La discussion de cette seconde construction est h pen près semblable k celle de la première.

N. B. — Avant de passer au chapitre suivant, il sera bon de voir, dans la Note A , à la lin du volume, la description de Ycqucrre, et son usage dans la résolution des problèmes qui dépendent de la construction des perpendiculaires. q

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