j LIT, I ; CHAP. Il ; § I

.luircme.nl : — IL suffit même, pour démontrer la proposi— Fig.(i8- tion , de faire remarquer tout simplement, que les angles AOC et COB composent un demi-plan (n° i3, 2°).

Scolie. — La même proposition est applicable à chacun des Fig. 6. quatre systèmes ou couples d’angles adjacens (fig. 6) formés par deux droites concourantes (voyez le n° 70).

Corollaire i”. — La somme de tous les angles consécutifs , Fig.6g. AOC , COD , DOE , EOB (fig. 69) , formés d'un même côté d’une droite AB , par d’autres droites quelconques , OC, OD ,0E , issues d un de ses points 0, est constamment égale à 2 droits.

Coroll. 2. — La somme des quatre angles formés par deux F|g-6- droites qui se coupent (fig. 6) est égale à 4 droits.

Fig. 70. Coroll. 3. — La somme de tous les angles consécutifs , AOB, BOC , COD. . . . etc. (fig. 7°) , formés autour d un meme point 0 par des segmcns indéfinis de droites quelconques , OA, OB, OC , 01). . . etc. , issus de ce point , est constamment égale à 4 droits.

Fig. 71. CoROl.L. 4. — Les bisscctri. es (n“ 70}, OM , ON ;fig. 71 ), de deux angles udjaccns f AOC , (.OB , sont perpendiculaires entre elles.

N° 1 1 3. Théorème 1. Fig. 68.

fig .68. Héciproqoemext : — Lorsque deux angles consécutifs , AOC , COB , sont supplémentaires , les côtés extrêmes, AO , OB. sont en ligne droite.

En effet , supposons que OB ne soit pas le prolongement de AO [en ligne droite]; et dans cette hypothèse, soit OB' ce prolongement. On aurait alors (n° 1 12)

AOC -f- COB' = 2 droits ; mais on a déjà , par l’hypothèse,

AOC -f- COB = 2 droits ; d’où il résulterait AOC -f- COB' = AOC -f- COB,

ou simplement, COB' = COB:

Ce qui est absurde.

ANCI.ES en général.

Scolie. — Nous aurions pu nous dispenser de développer ce

aisonnement qui n’est qu’une application particulière du principe général établi au numéro 4g.

Corollaire. — Si un nombre quelconque <T angles consécutifs Vifî-Gg. (fig. 69) forment une somme égale à 2 droits , les côtés extrêmes sont en ligne droite.

N" 1 14. Théorème III. Fig. 6.

Les angles opposés (n° 70) , AOC et BOD , AOD et BOC , Fig.6. [formés par deux droites qui se coupent, AB, CD] sont égaux deux à deux.

Eu effet , deux angles opposés quelconques , tels que AOC et BOD, sont toujours à la fois supplémentaires d’un même angle , AOD ou BOC. — ( Voyez le n® 1 ■ 1 .}

Réciproque 1". — Si les angles AOC et BOD sont égaux d’une part, ainsi que les angles AOD et BOC de l’autre, leurs côtés AO et OB seront en ligne droite, ainsi que leurs côtés CO] et OD : — Car, d’après l’hypothèse, la somme de deux angles consécutifs quelconques sera égale à 2 droits. — {Voyez le n® 11 3.)

Jiccipr. a. — Si AO et OB. par exemple, sont en Itgne droite, cl que les angles AOC et BOD soient égaux , CO et OD seront aussi en ligne droite :

— Car, en vertu de l'hypothèse, les angles AOC, AOD, seront supplémentaires, aussi bien que les angles BOD, AOD.

N° 1 1 5. Théorème IV. Fig. 72.

1® Tout point E pris sur la bissectrice AD (n®70) d’un angle Fig. 7» BAC est égalemenfdislant des deux côtés de cet angle y

2® Tout point F situé dans l'angle et extérieur à la bissectrice, est inégalement distant des mêmes côtés.

E11 effet : — 1“ Abaissons sur AB et sur AC les perpendiculaires respectives EG, El, et plions la figure suivant AD: les droites AB, AC, coïncideront, puisque les angles BAD, CAD, sont égaux par hypothèse; et par conséquent les perpendiculaires EG, El , se confondront pareillement (n® 82 , 2®).