U». I ; CHAP 11 ; § H

Fig. 75

§ If. De la Mesure des Angles par des Arcs de

cercle.

N° 1 18. Les droites qui , par leurs intersections mutuelles, déterminent les angles, étant toujours censées prolongées à l’infini [ca qui ne saurait avoir lieu dans la réalité] , et les angles étant d’ailleurs, d’après leur définition (n°(%) des grandeurs essentiellement indéfinies, il est possible qu’au premier abord, on éprouve quelque peine à se faire une idée nette de cette espèce de quantité.

C'est pourquoi nous allons nous occuper, dans ce paragraphe de faire voir que la mesure de l’angle peut être complètement debarrassée de toute considération de l’infini, et entièrement ramenée à celle d’autres quantités absolument finies , qu’il sera, par conséquent, plus aisé de se représenter clairement.

Pour cela, nous supposerons que du sommet 0 (fig. -5) de chaque angle AOB, comme centre , et avec un certain rayon arbitraire OA, on ait décrit, dans son plan , un arc de cercle ACB , terminé aux deux côtés OA, OB. - Cet arc est ce que Ion nomme lare correspondant à l'angle; et réciproquement, F angle est dit correspondant à l'arc, ou bien encore, l’angle au centre de cet arc.

N° - 19. Cela posé, il est clair que, dans un même cercle, ou dans des cercles de rayons égaux , OA , O'A' (fig n5) •

A des angles égaux, AOB, A'O'B', correspondent des arcs égaux, ACB, A'C'B':

Car si l’on superpose directement (n« 43) les deux angles, les points A et A' coïncideront, ainsi que les points B et' B' et par suite les arcs ACB et A'C'B' (n° 1 7).

Il résulte de là , qu’à un angle double, triple , quadruple. . . d un autre correspond aussi [dans le même cercle] un arc ou e triple, quadruple. . . de l’arc correspondant à l’angle simple y — et généralement

A un plus grand angle correspond un glus grand arc :

MESURE DES ASGLLS.

Car il est évident qu’un angle ne peut augmenter ou diminuer, sans que l’arc correspondant augmente ou diminue en même temps.

Les deux propositions précédentes ont pour réciproques les deux suivantes, lesquelles sont vraies d’après le principe établi au numéro 5i :

A des arcs égaux correspondent des angles égaux ;

Et — A un plus grand arc correspond un plus grand angle.

N° 120. De plus, suivant qu’un angle est aigu , droit, ou obtus, l’arc correspondant est évidemment inférieur, égal , ou supérieur à un quadrant fn° ig).

Lorsque l'arc est égal à une demi-circonférence , il n’y a plus d’angle proprement dit ; cependant on peut considérer encore les rayons opposés, formant le diamètre qui sous-tend la demi-circonférence , comme faisant entre eux un angle égal à 2 droits, lequel angle correspondrait à cette deiui-circonférence.

On peut même regarder comme un angle plus grand que 2 droits, toute portion de plan correspondant à un arc plus grand qu’une demi-circonférence. Ainsi, par exemple, dans la figure 9, en supposant que les arcs AB et AC fassent une Fig. 9. somme plus grande que la demi— circonférence, rien m’empêche de considérer la somme des angles consécutifs AOB, AOC, comme formant un angle unique plus grand que 2 droits et correspondant à l’arc total BAC.

Enfin, toujours suivant cette manière de voir, le plan luimême , dans son étendue indéfinie , n’est autre chose qu’un angle égal à 4 droits, et correspondant à une circonféreuce entière décrite d’un quelconque de ses points comme centre. — (*)

(*) De rndrae qne le cercle peut rftrc considère comme ayant pour génération le pivotement (n° 4 \) d’on rayon autour de son centre {voyez la ire note de la page 14), de m<3nic l'angle peut être suppose engendre par la rotation d’un segment indéfini de droite autour de son extrémité.

9° «.IV. I; CIUP. Il; § II. —

N° lai. Théorème VI. Fig. 76.

Fig.76. Dans un même cercle ou dans des cercles de rayons égaux. Les angles au centre , AOB , COD , sont proportionnels aux arcs correspondons , AB, CD.

[Pour démontrer cette proposition , il est nécessaire de faire observer d’abord, conformément à la remarque du numéro 63 (scol. 2), — i° que deux angles sont toujours comparables par superposition, — et 20 que deux arcs d’un même cercle le sont également. — Cela posé : ]

Commençons par prendre une ouverture de compas égale à la corde de l’arc CD; puis, du point A comme centre et d’un rayon égal à cette corde, décrivons un petit arc de cercle qui coupe l’arc AB en un point K. Les arcs AK , CD , seront égaux , puisque par hypothèse leurs cordes sont égales (n° 90, rccipr. 1"); et par suite, en menant le rayon OK, nous formerons un angle AOK égal à l’angle COD (n° 119). Ainsi l’arc CD se trouvera porté une première fois sur l’arc AB , eti’augleCOD sur l’angle AOB. — Supposons que l’arc CD , ayant été porté de cette manière 2 fois sur l’arc AB, de A en E , ait donné un reste EB moindre que CD : l’angle COD se trouvera , de même, porté 2 fois sur l’angle AOB , avec un reste EOB moindre que COD; et nous aurons à la fois

AB = 2 . CD -f EB , AOB =2. COD 4. EOB.

Portons à son tour l’arc EB sur l’arc CD; et supposons que le premier soit contenu dans le second une seule fois, de C en F , nous aurons alors

CD = EB+FD, COD— EOB + FOD.

Portons encore FD sur EB ; et soit de même'

EB=4.FD+GB, EOB = 4.FOD-f-GOB.

Soit enfin , pour fixer les idées ,

FD = 3.GB, d’où FOD = 3.G0B.

Il résulte de ces égalités [comme dans 1 e numéro 61],

MESUllL DES ANGLES,

EB = i3.GB, EOB = i3.GOB; Fig.;6.