AB = 45. GB, AOB = 45.GOB

Donc GB, commune mesure des arcs AB et CD, est contenu 45 fois dans le premier et 16 fois dans le second ; et de même GOB, commune mesure des angles AOB et COD, est • contenu 45 fois dans le premier et 16 fois dans le second. Donc , le rapport de l’arc AB à l’arc CD, et celui de l’angle AOB à l’angle COD , sont exprimes tous deux par la même fraction

et par conséquent on a

angle AOB : angle COD ;; arc AB : arc CD.

Cette proportion est vraie ge'ne'ralement ; et elle aurait encore lieu même quand les arcs seraient incommensurables entre eux ainsi que les angles : car il est certain que les deux conditions necessaires (n° 66) à l’existence de la proportion , sont remplies : savoir — 1° que dans les deux séries de divisions successives exécutées ci-dessus, les quotient fournis, d’un côté par les sures de cercle, de l’autre par les angles correspondons, sont constamment égaux deux à deux (n° 119) dans le même ordre; — et2° que l’une des divisions successives ne peut donner de reste , sans que sa correspondante donne aussi un reste.

On peut au reste, pour plus de clarté , réduire les rapports en fraction continue (voyez le n° 67). — L’exemple précédent donnerait ainsi,

AB

AOB COD

On reconnaît alors «jtic le rapport des arcs et celui des angles correspondait», étant représentés tous deux par la même fraction continue, sont égaux. Seule* aient, ces fractions continues seraient composées d’un noml>re illimité de fractions intégrantes si les arcs, et par suite les angles, étaient incommensurables entre eux.

Ou bien encore, on emploiera la méthode de M. LeeÉmjhf de l'ouacv (n* (>8) , qui est parfaitement applicable au cas actuel.

9* i-iv. I ; CHAP. If ; § II. —

Corollaire. — Un arc quelconque est à la demi-circonférence , ou à la circonférence entière , comme l'angle correspondant est à a droits , ou à 4 droits.

Scolie. — Eu même temps que les raisonnemens précédons démontrent le théorème énoncé, l’opération qui les accompagne conduit à la solution de ce problème :

Déterminer le rapport de deux angles , ou de deux arcs du même cercle , — ex Trouver leur plus grande commune mesure — quand il en existé une, c'est-à-dire quand les quantités que l’on compare sont commensurables entre elles; dans le cas contraire , c’est-à-dire quand ces quantités sont incommensurables entre elles, on est obligé de se contenter d’une commune mesure approximative , ainsi que d’un rapport approche (voyez le n* 64).

172. Remarques. — Par suite du théorème précédent , il sera très avantageux de prendre , d’une part pour les arcs d’un même cercle, de l’autre pour les angles au centre qui leur correspondent, des unités respectives telles qu’à ü unité des arcs corresponde l’unité des angles : car, de cette convention une fois admise , il résulte que

i-ig.^C. Tout angle AO B (fig 76) a la même mesure [c’est-à-dire, est représenté par le même nombré\ que l'arc correspondant AB.

En effet, si dans la proportion ( n* 121)

aob : cod :: AB : CD

on suppose que C,OD et CD sont respectivement, COD l’unité des angles, et CD l’unité des arcs, cette proportion signifiera proprement, que l'angle AOB se compose avec son unité comme rare correspondant AB se compose avec son unité ; et alors , en-' tendant par AOB et par AB les rapports numériques abstraits de cet angle et de cet arc à leurs unités respectives, on aura simplement

AOB = AB,

égalité qui a identiquement la même signification que la proportion, et au moyen de laquelle la mesure ou Vévnluation

r— MESURE DO ANGLES. g3

numérique ( voyez Y Arithmétique ) d’un angle quelconque [quantité indéfinie] se trouvera toujours ramenée à celle d’un arc [quantité limitée] , ainsi que nous l’avons énoncé au numéro 118. — (*)

Or, puisque l’on prend ordinairement Y angle droit pour unité des angles (n° 109), il est convenable de prendre pour unité des ares , comme nous venons de le dire , l’arc correspondant, c’est-à-dire le quart de circonférence ou le quadrant (n°i9).

N° 1 a3. Par suite, de même que l’on nomme angles complémentaires deux angles dont la somme équivaut à un droit, et angles supplémentaires deux angles dont la somme équivaut à deux droits (n° ni), de même aussi l’on nomme arcs complémentaires deux arcs dont la somme égale un quadrant, ou ukf unité d'arc , et arcs supplémentaires deux arcs dont la somme égale deux quadrans , ou simplement 2, valeur de la demi-circonférence.

Deux arcs respectivement complémentaires ou supplémentaires d’un troisième sont nécessairement égaux.

N° 124. 11 résulte de ce qui précède, que les propositions

relatives aux angles sont presque toujours susceptibles de deux genres de démonstration , puisque au lieu de considérer les angles en eux-mêmes , on peut raisonner sur les arcs qui leur correspondent. On emploie l’une ou l’autre de ces deux méthodes, suivant les circonstances.

Pour faire concevoir par un exemple, l’avantage que peut présenter la substitution des arcs à la place des angles, rappelons cette proposition fort simple , que — Par un point donné sur une droite , on ne peut élever qu’une seule perpendiculaire ( n° 81 ). — Il est facile de démontrer ce théorème en décrivant, du point donné 0 (fig. 77) comme centre, et Fig. 77. d’un rayon quelconque , une circonférence dont la droite don-

(*) Ce qui procède suffit pour expliquer In définition que beaucoup d'auteurs donnent de l'angle , en disant que c’est l 'écartement pfus»nu moins considérable de deux droites qui se coupent , écartement mesure par In longueur de Tare décrit dans son plan , entre ses c6lés, de son sommciromi’it; centr*-, et avec un rayon convenu.

Llv. I; CHAP. n ; § 11. —

née AB deviendra le diamètre; car alors, chacune des deux demi-circonférences déterminées par cette droite, ne pouvant avoirqu’i/njeu/mr7/eu(voyezlen0 19), il s’ensuivra évidemment qu'il ne peut exister, de chaque côté du diamètre AB, qu’un seul rayon perpendiculaire. Il n’est pas moins évident que les rayons perpendiculaires OC , OD , élevés de part et d’autre de la droite AB , forment un même diamètre CD , puisque les quaire portions AC, CB, BD , DA, dans lesquelles la circonférence se trouvera partance, sont des quadrans.

Le même mode de raisonnement peut être employé pour démontrer que — Tous les angles droits sont égaux (n° 78).

N° i?.5. Tout ce qui vient d'être dit (n“ J 18 — 124) relativement aux angles au centre , est également applicable aux secteurs. — En effet, il est évident

i° Qu’à des arcs égaux correspondent des secteurs égaux;

20 Que par conséquent , à un arc double, triple... cor*^ respond un secteur double, triple. . . ;

Et — 3° Qu’à un plus grand arc correspond un plus grand secteur.

De là il résulte , d’abord que

Les secteurs d'un même cercle [ ou de cercles égaux ] sont proportionnels aux arcs correspondons ,

Et par suite , qu’en prenant le quart de cercle pour unité de secteur,

La mesure des secteurs est la même que la mesure des arcs (voyez le n® ta»).

126. Autres Remarques, sur la division des angles et celle des -arcs correspondons. — Pour que la mesure ou l'évaluation des angles et des arcs puisse s’effectuer commodément, on divise l’angle droit et le quadrant en fractions d’une espèce déterminée , ce qui se fait de deux manières différentes.

Dans la première méthode , qui est la plus ancienne, on partage l’angle droit [que l’ou désigne par i*] et le quadrant [que l’on désigne par i»]en 90 parties nommées degrés ; on les écrit ainsi : i°, 2®, 3°, etc. — Chaque degré se subdivise en