MESURE UES ANGLES

60 minutes sexagésimales, que l’on écrit ainsi : i', 2', 3', etc. — Chaque minute se subdivise en 60 secondes sexagésimales, que l’on écrit ainsi : 1% 2", 3", etc. — Chaque seconde à son tourse subdivise en 60 tierces : 1", 2*, 3", etc., etc.

Dans la division moderne, on partage l’angle droit et le quadrant en 1 00 grades que l’on désigne ai nsi : t*', 2*r, 3*r. . . ; chaquegrade se subdivise en 100 minutes centésimales , chaque minute en 100 secondes, et ainsi de suite , comme dans la première méthode. On indiqué ces subdivisions de la même manière que lis subdivisions sexagésimales; mais La dénomination de degré ou de grade, appliquée A la division principale , suffit pouréloignertouteéquivoquc. — [On nomme aussi quelquefois décigrades , centigrades , milligrades . . . , les dixièmes, centièmes, millièmes. ... du grade.]

N° 127. Chacune de ces divisions a des avantages qui lui

sont propres. — Dans la première, par exemple, un plus grand nombre d’arcs sous-multiples du quadrant peuvent s’exprimer exactement en degrés , le nombre 36o, qui ex prime la quotité des degrés contenus dans la circonférence, ayant plus de diviseurs que le nombre 4°°> qui exprime la quotité des grades (voj'ez l’ Arithmétique). •

La seconde méthode, de son côté , a sur la première , l’avantage d’être en harmonie avec le système de numération moderne , d’être , par conséquent, exempte de l’inconvénient que présentent les nombres complexes, et par suite, de se prêter plus facilement au calcul. La réduction des fractions décimales d’unité d’angle ou d’arc , en degrés, minutes, secondes. . . . , et de celles-ci en fractions décimales d’unité, s’y fait immédiatement. On apperçoit tout de suite , par exemple , que o‘,,3682537 , ou o* ,3682537 , équivaut à 36trfh.'53",jom.

Dans la division moderne , les complémens et les suppléinens des angles s’obtiennent comme les complémens arithmétiques, ce qui est encore un avantage de cette division. Ainsi 36*r 82' 53" 70* a pour complément 63*r 17' 4^" 3ow et pour supplément i63*' 17' 46* 3o*.

g6 1.1V. 1 ; CHAP. H ; § III.

N° 128. Au reste, il est facile de passer de l’une de ce* divisions à l’autre : car, d’après ce qu’on vient de dire, le rapport du degré au grade étant celui de 10 à g, ou bien, ce qui est la même chose, 10 grades valant g degrés , on peut en conclure que pour transformer des degrés en grades, il suffit, après avoir réduit les minutes et secondes sexagésimales en fraction décimale de degré, de multiplier par pour avoir le nombre de grades correspondant : la fraction décimale obtenue ainsi , présente , sans autre calcul , les minutes et secondes centésimales. Au contraire , pour transformer des grades en degrés , il faut multiplier par et réduire la partie fractionnaire en minutes, secondes, etc. C’est en opérant ainsi que l’on trouvera, par exemple, que 36eT8‘z,53"']o" [division centésimale] équivaut à 33®8'34*t2* [division sexagésimale], à une tierce près.

La division des arcs en degrés ou en grades est surtout employée dans la Trigonométrie , science qui se rattache à la Géométrie , et qui a pour but le calcul numérique des élémens des triangles (n° -;4) » c’est-à-dire le calcul des côtés et des angles qui entrent dans leur composition.

§ III. — Problèmes sur les Angles.

N° 129. Problème I. Fig. 78.

Fig. 78. Étant donné un angle AOB , mener par un point O' pris sur

une droite O'A’, une autre droite O'B' qui fasse avec la première un angle égal à l’angle donné.

Synthèse. — Construction. — i° Du point O comme centre, et d’un rayon arbitraire OA , décrivons entre les côtés de l’angle O , un arc AB. — 20 Du point 0' comme centre, et du même rayon, décrivons un arc indéfini A'B'. — 3° Prenons la distance [rectiligne] AB; et avec cette distance comme rayon, décrivons du point A' comme centre un petit arc de cercle qui coupe le précédent en B'. — Menons la droite O'B'.

L’angle A'O'B' sera l’angle demandé.

— PROBL. SUR LES ANGLES. Cfl

En effet, si l’on mène AB et A'B', on aura deux cordes j. „g. égales dans deux cercles de rayons égaux , OA, O'A' ; les arcs correspondans à ces cordes seront donc égaux ( n° 90 , récipr. t") ; et par suite, les angles correspondans, AOB,

A'O'B', le seront aussi (n° 119).

Scolie 1". — Le problème n’est complètement déterminé (n° 58) , qu’autant que l’on indique comment doit être située la droite cherchée ; sans quoi il y a quatre solutions.

Scol. 2. — L’angle donné peut être droit ; dans ce cas , la construction précédente fournit la solution du problème suivant :

Par l'extrémité d'un segment de droite [qui ne peut être prolongé] élever une perpendiculaire. •

N° i3o. Problème II. Fig. 79.

V t> t Tt.l i :: X * ni’. ^ 1!-

Par deux points donnés , A , B , mener respectivement deux droites Fig “gqui se coupent sur une troisième droite donnée MN , en faisant avec elle, de part et d’autre, des angles égaux, ACM, BCN.

Analyse. — Le point C étant le point d'intersection cherché, on aura

' lit )l‘y. ToljSt.j' 1 * ‘

ACM = BCN ;

et si l’on prulonge BC au-delà de MN en CA', on aura aussi A'CM = BÇN = ACM. ,

De plus , ai l’on abaisse snr MN la perpendiculaire ADA', et qnel’on prolonge cette perpendiculaire jusqu’il la rencontre de BCA' an point A', les denx droites CA , CA', considérées comme des obliques par rapport h la perpendiculaire CD, en seront egalement distantes :car lu portion de figure ACA' a évidemment la droitcCD pour axe de symétrie (n° 86). — Ainail’on aura A'D = AD.

Construction. — t« Abaissons sur MN la perpendiculaire AD(n* 100); et prolongeons AD d’une quantité DA' = DA. — a° et 3» : Menons les droites’

BCA' et AC.

AC’ et BC seront les droites demandées, conformément \ l'analyse.

Scolie. — Le système des droites AC, BC, forme le plus court chemin pour aller de A en B en passant par nn point de la droite MN ;

98 LIV. i; CR AP. Il; § III. —

En effet, pour tont antre point C pris sur MN, on aurait BC' + C'A' > B A', ou > BC 4- CA' ; d’où , 1 cause de C'A' = C'A et de CA' = CA ,

BC' ■+■ C'A > BC -f- CA ;

N° i3i. Problème III. Fig. 8o.

Fîg.8o. Partager en deux parties égales un angle donné ÀOB.

Synthèse. — Construction. — 1° Du sommet O comme centre, et d’un rayon quelconque OA , décrivons l’arc ACB , terminé aux deux côtés de l’angle, en A et en B. — 2° Marquons un point quelconque K à égale distance des points A et B. — 3° Menons OK.

Cette droite OK sera la bissectrice cherchée ( n” 70).

En effet, si l’on mène la corde AB , la droite OK sera perpendiculaire sur son milieu ( n° 85 , scol. ier). Par conséquent, cette droite partage l’arc ACB en deux parties égales (n° 88 , récipr. 2) , ainsi que l’angle correspondant AOB (n° 119).

Scolie. — Cette construction sert aussi à

1° Partager en deux parties égales , un arc ACB , ou un secteur OACB , ou un segment ACBD.

Par suite , au moyen d’applications successives de la construction précédente, on peut parvenir à

Partager un angle , ou un arc , ou un secteur [mais non un segment ] , en 4 , 8 , 16... parties égales.

C'est encore , d’après le numéro u5 ( scol. , récipr. ) , cette

construction que l’on doit employer pour

• 20 Décrire une circonférence qui louche trois droites données y

Mais cette question ne sera traitée complètement que plus loin ( chap . iv, n° 167), et c’est seulement comme exemple d’application du problème précédent (n° i3i) , que nous indi-