DES PARALLÈLES

g I«. — Propriétés générales des Parallèles.

N° i3a. Nous avons dit (n° 71) que l’on nomme Parallèles (*) des droites qui , situées dans un même plan, ne se rencontrent pas , quelque loin quon les prolonge ; mais jusqu’à présent, nous ne savons pas s’il existe de pareilles lignes.

Or, il est facile de constater, la possibilité de droites qui remplissent les conditions de la définition précédente. En effet, que l’on suppose par exemple , dans un même plan , deux droites Fig.Ss. distinctes, AB , CD, (fig. 82) , perpendiculaires à une troisième EF aux points respectifs M et N. Il est clair que ces deux perpendiculaires ne sauraient se rencontrer, quelque loin qu’on les prolonge : car si elles se rencontraient en un point 0, il y aurait, de ce point, deux perpendiculaires, AB, CD, abaissées sur une même droite EF, ce qui est absurde (n° 82). Les deux perpendiculaires sont donc des droites parallèles.

Deux droites parallèles étant nécessairement dans un même plan d’après leur définition , déterminent ce plan (n° 11). — On le nomme le plan des deux parallèles ; et nous appellerons Bande la portion de plan comprise entre les deux parallèles.

N° 1 35. Femme I. Fig. 83.

j-ig gl. Un angle AOB, quelque petit qu’il puisse être , n’est contenu dans un plan qu’un nombre limité de fois.

En effet : supposons que l’on fasse tourner l’angle AOB autour de OB comme charnière (n° 44)? de manière qu’il vienne

(*) : de Wttfà, à cités et « Mxixu, l'un Vautre.

— PROPR. DES PARALLÈLES. 101

se rabaltre, sur sou plan primitif, en BOC. — Supposons de même que l’on fasse tourner BOC autour de OC , de manière A former

un troisième angle COD égal à chacun des deux premiers

— Et ainsi de suite , en continuant toujours à retourner l’angle primitif successivement sens dessus dessous.

Cela posé, quelque petit que soit cet angle, en le répétant comme on vient de l’expliquer, un nombre suffisant de fois , nombre essentiellement fini qu’il serait possible d’assigner et qui est d’autant plus petit que l’angle AOB est plus grand, il est visible que l’on obtiendra bientôt une somme d’angles assez grande pour recouvrir entièrement le plan; ce qui démontre la proposition énoncée.

Autrement ( voyez le n® ia4 ) : — Si du sommet O comme centre et d’un rayon quelconque OA, on décrit une circonférence, l’arc total correspondant à la somme des angles , finira par égaler la circonférence entière lorsque chaque arc partiel sera une partie aliquote de cette circonférence, et, dans le cas contraire, par surpasser la même circonférence. Or, comme la somme d’angles qui correspond à celte circonférence recouvre entièrement le plan ( voyez le n° 1 20) , on se trouve ainsi conduit A la même conséquence.

Scolie. — De là on peut conclure qu’un angle , quelque petit qu’il soit, surpasse en grandeur toute figure susceptible d’être contenue dans un plan un nombre indéfini de fois, que cette figure soit ou ne soit pas limitée de toutes parts;

Kl île pin», l’angle lui-même contient celle (icure un nombre indéfini de Toit,

[Sous nvon» déjà fait usage de la propriété précédente au numéro 1 16.]

N° 134. Lemmf. II. Fig. 84.

Toute bande comprise entre deux parallèles, AB, CD, Fig. 8 j quel que soit leur écartement, est contenue dans un plan un nombre infini de fois.

En effet: faisons d’abord tourner la bande ABCD autour de CD comme charnière ( n° 44 ) > de manière qu’elle vienne se ra-

102 LIT. I; CHÀP. ni; § I. —

battre , sur son plan primitif, en CDA'B'. — Faisons de même • tourner CDA'B' autour de A'B' , de manière à former une troisième bande A'B'C'D' égale à chacune des deux, premières. . . — Et ainsi de suite.

Remettons maintenant la bande ABCD dans sa position primitive ; et retoumons-la successivement sens dessus dessous , au-delà de AB, comme nous l’avions fait au-delà de CD : nous aurons d’autres bandes égales aux premières , ABcr/, cdab , abc' d' y. . . etc.

Or , quel que soit Yécartemcnt des deux parallèles , il est évident que le nombre des bandes égales que l’on pourra former ainsi, sera infini : c’est-à-dire qu'il est impossible de recouvrir entièrement le plan avec un nombre limité de ces bandes.

N° i55. Lemme III.

Toute bande comprise entre deux parallèles est moindre qu'un angle quelconque.

En effet, nous venons de voir — i° qu’L'n angle n’est contenu dans un plan qu'un nombre limité de fois (n° l33) ; — et au contraire — 2* qu’t 'ne bande y est contenue un nombre infini de fois (n° i34 ) : — donc l’angle est plus grand que la bande (n° i33, scol.).

Scotre. — On peut même dire que

La bande est infiniment plus petite que l'angle ; ou que — L'angle équivaut à une infimité de bandes (ne 1 33 , scol.).

N° t56. Théorème I. Fig. 85.

tig- 85. Par un point donné O — i° On peut toujours mener une parallèle à une droite donnée AB, — et — 2° On n'en peut mener qu'une.

En effet: — i° Par le point 0 l’on peut toujours à la fois, abaisser une perpendiculaire OP sur AB (n°82), et élever, dans le plan ainsi détermine (n° 12), une perpendiculaire sur OP ( n" 81 ) : or cette seconde perpendiculaire est évidemment parallèle à AB (n° i32 j.

PROPR. DES PARALLÈLES. JOÎ

2° Pour que l’on pût mener à A8 , par le point O , deux parallèles CD , £F , il faudrait que l’angle DOF pût être contenu dans la bande ABCD , ou l’angle COE dans la bande ABEF ; —

Ce qui est absurde.

Corollaire i*\ — Deux droites , AB , CD (fig. 86), respecti- Fig.86. vemcnl parallèles à une troisième EF [et supposées dans un même plan avec EF] sont parallèles entre elles :

Car si elles se rencontraient, on pourrait, par un même point, mener deux parallèles, AB, CD, à une même droite EF ; — Ce qui est absurde.

Ainsi : — Deux droites parallèles entre elles ont toutes leurs parallèles communes.

Coroll. 2. — Si, par un point pris sur AB (fig. 84) , on me- Fig.84. nait une droite quelconque [différente de AB], cette droite

rencontrerait toutes les parallèles CD, A'B', CD'

cd , ab , c'(t . . .

N° 137. TnéoRÈME II. Fig. 87.

Deux droites , AB , CD , sont parallèles lorsqu’elles font avec Fig.87. une meme transversale (n° 72) EF [respectivement en deux points , M , N ] des angles alternes- internes égaux.

Observons d’abord que deux angles alternes-internes , pai exemple AMN etMND, ne peuvent être égaux entre eux sans que les deux autres angles alternes-internes, BMN, MNC, qui sont les supplémens respectifs des premiers (n° 1 12), ne soient aussi égaux entre eux (u° 1 1 1). Cela posé , admettons que les segmens indéfinis de droite, MA, NC, se rencontrent; et, dans cette hypothèse, faisons pivoter (n° 4 {) la portion de plan AMNC autour du point 0 milieu de MN , de manière que OM prenne la place de ON , et ON la place de OM. Alors , le segment indéfini MA prendra la position ND, et le segment NC la position MB , puisque , d’après l’hypothèse faite sur les angles , on a

angle AMN =ang7eMND , et angle BMN = angle M NC.