UV. I ; CH AF. III ; § I

Or, les segmens indéfinis MA, NC, ne cessant pas de se rencontrer dans cette nouvelle position , il en résulte que les segmens MB, ND, avec lesquels ils coïncident main tenant chacun à chacun , se rencontreraient aussi ; et alors les droites AB, CD, auraient deux points communs ; — Ce qui est absurde .

N* i38. Théorème III. Fig. 88.

Fig. 88. Deux droites, AB, CD, concourent (n® 8) lorsque les an-

gles alternes-internes qu elles font avec une transversale EF [respectivement en deux points, M, N] sont inégaux.

En effet, si par le point N , par exemple , on mène la droite C'D' de manière que les angles AMN , MND' , soient égaux , les droites AB , C'D', seront parallèles ( n® x 37 ) ; donc AB et et CD doivent se rencontrer (n® i36, 2®).

N® i3g. Remarque. — Chacun des deux théorèmes précédens (n°* i3^ et 1 38 ) est susceptible d'un énoncé beaucoup plus étendu.

Fig. 78* En effet, dans la fgure8^, les angles AMN, MND, BME, CNF, d’une part, et les angles BMN, MNC^AME, DNF, d’autre part, étant égaux quatre à quatre, et chacun des quatre premiers étant supplémentaire de chacun des quatre derniers, il s’ensuit que le théorème 11 (n® i3?) peut être présenté de la manière générale suivante :

Théor. 11. — Deux droites sont parallèles lorsque', étant coupées par une transversale , elles font avec cette dernière , ou — i° Des angles alternes-internes égaux , ou — 2® Des angles altemcs-extsmrs égaux , ou — 3® Des angles correspondons égaux , ou — 4° Des angles internes d’un même côté supplémentaires,

ou — 5® Des angles externes d’un meme côté supplémentaires ;

Fig.88. Et de même (fig. 88) , le théorème m (n® i38) peut s’énoncer plus généralement comme il suit :

— PROPR. DES PARALLÈLES. Io5

Theor. III. — Deux droites concourent lorsque, étant coupées par une transversale, elles font avec cette dernière ,

ou i® Des angles àllemes-intemes inégaux,

ou — a° Des angles altemes-extemes inégaux, ou — 3° Des angles correspondons inégaux, ou 4° Des angles internes d’un même côté non supplé-

mentaires ,

OU — 5° Des angles externes d'un même côté non supplémentaires.

Il faut avoir soin d'observer de plus, que dans le théorème m ,

La rencontre a lieu du côté de la transversale où les angles internes forment une somme moindre que % droits.

Maintenant, ces deux théorèmes, ainsi généralisés, offrent plusieurs cas particuliers remarquables. Par exemple, la proposition que

Deux droites , menées dans un même plan perpendiculairement à une troisième , sont parallèles (n° i32),

Devient un cas particulier du théorème n.

De même , le théorème m fournit la proposition suivante :

Une perpendiculaire AB ( fig. 8g ) et une oblique CD menées Fig. 8g. à une même droite EF [respectivement en deux points M, N] doivent se rencontrer [du côté de l’angle interne aigu MNC].

N. B. — Cette dernière proposition prouve d’ailleurs que le cas d’impossibilité relatif aux problèmes des numéros 102(4°), io3, et io4, et signalé dans leur discussion, est en effet lç seul auquel ils soient assujettis, comme nous l’avons avancé au numéro 102 (IV. B.).

De même , le théorème m généralisé comme il vient de l’être, prouve que les bissectrices des deux angles internes de chaque côté de la transversale , se coupent toujours ; ce qui vérifie une assertion que nous avons émise au numéro i3i , dans l’analyse du problème 2' du scolie.

lo6 LIV. I ; CHIP. III ; § I. —

N° i4o. Réciproques des deux théorèmes précidens. — De plus, les théorèmes n et iti se trouvant dans le cas de la remarque générale du numéro 5i , il s’ensuit que leurs réciproques sont vraies.

Ainsi : — Lorsque deux droites coupées par une transversale sont parallèles , on peut affirmer, tout à la fois ,

i° Que — les angles alternes-internes , ou altemes-exlemes , ovLcorrespondans , sont égaux deux à deux ;

Et 2° que — les angles internes ou externes d'un même côté , •

sont supplémentaires.

Au contraire : — Lorsque deux droites coupées par une transversale ne sont pas parallèles, il est certain , tout à la fois, i° Que — les angles alternes-internes , ou altemes-externes , ou correspondons , sont inégaux ;

Et 2° que — les angles internes ou externes d’un même côté, ne sont pas supplémentaires ;

Et de plus, il est clair qu 'alors — c’est toujours du côté du point dé intersection que les angles internes font la plus petite somme.

La première des deux réciproques qui précèdent offre aussi un cas particulier remarquable , réciproque lui-même de la proposition du numéro i32 ; en voici l’énoncé :

Deux droites parallèles , AB, CD (lig. 8a), ont leurs perpendiculaires communes.

A cause de l'importance de cette dernière proposition , il ne sera pas inutile d’en développer spécialement la démonstration suivante.

D’abord, si la droite EF [ que l’on suppose dans le plan des deux parallèles] est perpendiculaire à AB, en M par exemple , elle ira rencontrer CD : sans quoi l’on pourrait, par un même point M, mener deux parallèles à la droite CD. — Secondement, la droite EF sera perpendiculaire à CD : car sans cela elle lui serait oblique ; et alors les droites AB , CD , étant l’une perpendiculaire et l’autre oblique à une même droite EF, se rencontreraient ( n° 1 3g ) ; — Ce qui est contraire à l'hypothèse.

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