PR0PR. DES PARALLÈLES. IO

On conclut de la dernière proposition combinée avec celle du numéro i32 , que

Les perpendiculaires à un système du droites parallèles , forment un second système de droites paradlèles .

Et enfin , de la seconde re'ciproque g en érale résulte comme cas particulier cette proposition, que

Deux droites non parallèles ne sauraierM avoir de perpendiculaires communes.

N° 141. Théorème IV. Fig. 90.

Deux parallèles , AB, CD, sont partout t 'gaiement distantes ; Fig go. — et réciproquement.

D’abord , la ligne la plus courte que l’on, puisse mener d’un point , E ou G , donné sur la droite AB , à sa parallèle CD , est une perpendiculaire , EF ouGI, commune (u° 140) à ces deux droites : cette perpendiculaire mesure donc , pour les points E ou G, la distance des deux parallèles. Ainsi , la question revient à démontrer que les perpendiculaires EF, GI, sont égales.

Pour cela , par le point M , milieu de EG , dlevons sur AB la perpendiculaire MN : elle ira rencontrer (n° i<fo) en un point N. la parallèle CD ; rabattons BMND sur AMNC. Tous les angles delà figure étant droits , MG prendra la direction ME; et comme MG = ME, le point G tombera sur le point E. Ensuite GI prendra la direction EF , et NI la direction NF ; donc le point I tombera en F : donc