GI = EF ; C.Q.F.D
Réciproquement : — Si deux droites sont partout également distantes , elles sont parallèles :
Car alors elles ne sauraient se rencontrer.
Et d’ailleurs , comme deux points déterminent une droite ( n° 8 ) , on peut affirmer que
Deux droites sont parallèles lorsque deux points de l’une d'elles sont également distans de l’autre.
lo8 MV. I ; CBAP. III ; § II.
Scolie. — Tous les points qui sont à une distance donnée et du meme côté d’une droite , se trouvent sur une même parallèle A la droite ; de plus , les points situés de ce même côté de la droite , sont en dedans ou en dehors des deux parallèles , suivant que leur distance à la droite est plus petite ou plus grande que la distance donnée.
II est bon d’observer en outre, qu’une troisième parallèle menée à égale distance des deux premières , tient lieu de la bissectrice (n° 70) de l’angle de celles-ci (voyez le n° 1 15, coroll.).
Fig. g,. N» i4î. Remarque. — Soient AB , CD (fig. gi), deux parallèle» ; et aupposons que d’un point quelconque O pris «nr CD , on mène h AB la perpendiculaire OP et une série d’obliques, QR , OR', OR". . . : les points R, R', R"... étant déterminés d’après cette loi: PR = PO» RR' *=» RO, R'R"*=R/0. . .
Cela pose, la première obliqnc OR sera la bissectrice de l’angle POD : car on a POR= PRO (n° 117) = ROD (n° ijo). De même, OR' sera la bissectrice de ROD, OR" la bissectrice de R'OD. ... D’où il résulte que les angles DOP,DOR,DOR',DOR". . . . sont représentés par la série des nombres : *> “» g. . et par conséquent peuvent devenir plus petits que tout
angle donné, sans que la droite AB cesse pour’ccla d’être rencontrée par les obliques OR. OR', OR"..., lesquelles deviennent pins grandes que toute ligne donnée, ainsi que les distances PR, PR', PR".,.. Par conséquent, les obliques OR, OR', OR". ... se rapprochent indéfiniment de la droite CD qui m est ainsi leur limite ; et par suite ,
Les Deux parallèles AB, CD, peuvent être considérées comme deux droii< s qui se rencontrent à l’infini en faisant entre elles un angle nul .
§ II. — Conséquences des propriétés des Parallèles.
N° i43. .Théorème V. Fig. 93.
Fig. 91. Lorsque deux droites, AB, CD, se coupent, leurs perpendiculaires respectives , MN , PQ, se coupent aussi.
En effet , si MN et PQ étaient parallèles , AB et CD leur étant à la fois perpendiculaires (n° i.fo ), seraient aussi parallèles (n° 137 ) ; — Ce qui est contraire à V hypothèse.
Scolie. — Le problème du numéro 102 (3°) est toujours pos= sible quand les trois points donnés ne sont pas en ligne droite (voyez le IV. B. du n° 102).
PARALLÈLES ; C.O.VSÉQ.
Théorème VF.
Fifi- 95“9^-
Deux angles sont égaux ou supplémentaires lorsqu’ils ont les côtés parallèles, chacun à chacun.
Il peut se présenter trois cas :
i° Les angles, AOB, A'O'B', peuvent avoir les côtés dirigés F,S-93* chacun à chacun dans le meme sens (fig. g3). — Dans ce cas , le côté A'O’ , par exemple , [ prolongé s’il est nécessaire] rencontrera le côté OB en un point C ; et l’on aura, par la. propriété des angles correspondans (u° i4°)>
AOB = A'CB , A'CB = A'O'B ; d’où AOB = A O'B' :
Donc — Deux angles sont égaux lorsque les côtés de F un sont parallèles aux côtés de l’autre et dirigés dans le même sens , chacun à chacun.
2° Les angles, AOB, A'O'B' , peuvent avoir les côtés dirigés Fig. 9$. chacun à chacun en sens contraire (fig. g4). — Dans ce cas , soit OA” le prolongement de OA, et OB* le prolongement de OB : on aura
AOB = A"OB* (n° n4), et A'OB” = A'O'B' (n" 1 44 ; t°) ;
.d’où AOB = A'O'B':
Donc — Deux angles sont égaux lorsque les côtés de V un sont parallèles aux côtés de l’autre et dirigés en sens contraires , chacun à chacun.
3° Enfin , supposons le côté O'A' dirigé dans le sens de OA et Fig. 95. O'B' dans le sens contraire de OB ( fig. g5 ). — Alors , soit prolongé un quelconque des quatre côtés : soit, par exemple, OA” le prolongement de OA : les angles AOB et A'OB seront supplémentaires (n° 112) ; mais celui-ci est égal à A'O'B' (n° 1 44 » i-0 ou 2°) ; donc AOB et A'O'B' sont supplémentaires :
Donc — Deux angles sont supplémentaires lorsque les côtés de F un sont parallèles aux côtés de F autre , chacun à chacun, mais non dirigés à la fois dans le même sens ou en sens contraires.
Ainsi , la proposition est complètement démontrée.
LlV. I. ; CHAP. III ; § II. —
N° i45». Théorème VU. Fig. 96.
Deux an gles sont égaux ou supplémentaires lorsqu’ils ont les côtés p erpcndiculaires chacun à chacun.
Fig.j,G. Considé rons d’abord deux angles aigus, AOB, A'OB'; et supposons , >dc plus, qu’ils aient meme sommet.
Dans ce tte bypotlièse, on aura AOB — 1 droit — A'OB , et A'OB' = 1 droit — A'OB ; d’où . A'OB' = AOB.
Maintenant, les deux droites OA', OB', prolongées de toutes parts , ni; peuvent former que quatre angles, dont l’un , A'OB', est déjà reconnu égal à AOB; un second, a'Ob', opposé au précédent, égale donc aussi AOB; enfin les deux autres,
■ h' Ob' , û'OB' , adjacens à A'OB', et par conséquent supplémen-
taires de celui-ci , le sont par suite de AOB.
Ainsi la proposition énoncée est déjà démontrée pour deux angles qui ont même sommet.
Secondement, considérons un angle 0 , ou plus généralement les quatre angles formés par deux droites A 'a', B 'b', qui se coupent en un point 0 ; et comparons ces quatre angles à un angle isolé A’'0'’B" dont les côtés soient respectivement perpendiculaires à ces droites. Pour cela menons , par le point O ,‘ les droites OA et OB parallèles aux droites 0^" et 0”B", chacune à chacune, et de plus, dirigées, à partir du point 0 , dans le même sens qucO'A" etO'B" le sont à partir du point 0". Les angles AOB et A'O'B'' seront égaux (n° 1 44 ) • Mais AOB et A'OB' sont nécessairement, d’après ce qui précède, égaux ou supplémentaires (n° ii^o); donc A"0"B*et A'OB' sont aussi égaux ou supplémentaires; ce qui complète la démonstration.
Scolie. — Le théorème précédent présente, comme cas particulier, cette proposition que l’on peut vérifier facilement :
Si d’un point pris dans l’intérieur (f un angle donné , on abaisse des perpendiculaires sur ses côtés ou sur leurs pro— longemens , l’angle formé par ccs)perpendiculaires sera le supplément de l’angle donné.
— PARALLÈLES ; CONSÈQ. III
N° 146. Remarque sur Us deux théorèmes précédent. — Dans la démonstration du dernier théorème , ce qui est relatif A l’égalité revient h dire que les deux angles dout il s’agit sont égaux parce que, augmentés ou diminués A la fois d’un même angle, ils donnent pour résultat commun, un angle droit.
Or, comme la proposition serait également vraie pour tout antre résultat , il s’ensuit que ce meme théorème, ainsi que le précédent, 11c sont que deux cas particuliers d’une proposition beaucoup plus générale.
Soit en effet nn angle AOB (fig.96) : si on le fait pivoter (n*44)autour de Fig çfi. son sommet, dans son plan, il y prendra successivement une infinité dépositions différentes, et entreautres les quatre positions remarquables indiquées par la figure : il deviendra d’abord [si l’on peut s’exprimer ainsi] perpendiculaire [A'OB'] A sa première position, puis opposé [nO&] , puis une seconde fois perpendiculaire [a'0&'] , et enfin il reprendra sa position piimitive [AOB].
Or dans ces quatre positions remarquables, ainsi que dans toutes les positions intermédiaires, l’angle AOB conservera constamment la même valeur.
N» i47- R*makq vk sur les théories précédentes. — On a va (n» i3g) qnc lorsque deux parallèle!, AB , CD ( fig. 87 ) , .ont coupées par une transversale EF , il en résulte quatre couples d’angles correspondant 'égaux entre eux. Dire que le» angles AJ1F, CNF, par exemple, sont égaux, c’est dire qu'ils peuvent sc superposer ( u® 3 ) , ou bien qu'ils correspondent à des arcs égaux (n®itg): cela se conçoit hicn. Cependant au premier abord, il paraîtrait s'ensuivre que la partie CNF est égale au tout AMF.
Pour résoudre cette espèce de paradoxe, il suffit rie se rappeler les deux lemrnes qui ont été établis précédemment dans les numéros i33 et 1 34 , ainsi qne leurs conséquences ( n° t35). Il s’ensuit en effet, que le rapport de l’angle AMF, ou de l’angle CNF, h la bande ABDC, ou à sa muitié AMNC , est infiniment grand ; ou bien que le rapport de la bande h l’angle est infiniment petit , c’cst-à-dirc nul ; ou bien enfin, comme nous l’avons déjà dit (n“t35), que l'angle contient une infinité de bandes. D’où Usait nécessairement que la bande ne forme pas une quantité comparable à l’angle, ou mieux, que la bande et l’angle forment deux espèces différentes de grandeurs dont la première doit être considétée comme nulle et entièrement négligée en comparaison de la seconde {*).
Fig. 87.
H En d’autres termes, l'aire de la bande {voyez ci-après le chap. iv du lia. il) est une quantité infinie du premier ordre , parce qu’elle a une longueur infinie cl une largeur finie ; tandis que l’aire de l’angle est une quantité infinie du second ordre , parce que ses deux dimensions sont infinies {voyez la note de la page 3). Or, de même qn’nne quantité entièrement finie doit être négligée vis-à-vis d’une quantité infinie (voyez le n» 116 J, de même aussi une quantité infinie du premier ordre doit être négligée vis-à-vi» d’une quantité infinie dn second ordre ou d’an ordre supérieur.
lia
