LIV. I; CHAP. III ; § III

C'est là ce qui explique en particulier comment tons les angles droit* peuvent être égaux entre cnx(n° 78, 2°), c’est-à-dire pourquoi,

Par quelque point d’un plan que Von mène deux droites perpendiculaires entre elles , ces droites partagent toujours le plan en quatre portions égales.

§ III. — Dos Parallèles considérées dans le Cercle . — Mesure des Angles Excentriques.

N° 148. 1 Théorème VIII. Fig. 97»

F‘g 97- Deux tangentes, ST, UV, menées aux extrémités d'un même diamètre AF, sont parallèles ; — et réciproquement.

En effet , ces deux tangentes ne sont autre chose que des perpendiculaires à une même droite (n01 89 et i3g).

Réciproquement : — Deux tangentes parallèles ont nécessairement leurs points de contact situés aux extrémités d'un même diamètre : car les rayons qui aboutissent à ces deux points , étant h la fois perpendiculaires aux deux tangentes, doivent être les prolongeinens l’un de l’autre (n° 140 ; et n° 82, 20).

Fig.Si [Tel est, par exemple, le cas de la figure 8i (voyez

le n° 1 3 1 , scolie , a0). ]

N° 149. Théorème IX. Fig. 97.

Fig-97- Deux parallèles interceptent sur la circonférence des arcs égaux.

Il peut se présenter trois cas :

i° Si les parallèles sont deux sécantes, BC, DE, le diamètre qui leur est perpendiculaire coupera la circonférence en deux points, A, F, également distans, d’une part, des points B et C , et d’autre part, des points D et E (n° 88). On. aura donc :

arc AB = arc AC et arc AD = arc AE ; d’où arc BD = arc CE.

PARALI.. DANS LC CERCLE.

a0 Si , des deux parallèles, l’une est tangente, ST ou UV, et Fig.97. l'autre sécante, BC, en leur menant parle centre, une perpendiculaire AOF, cette droite passera par le point de tangence (n°8g, n!cipr. 2), A ou F, et coupera d’ailleurs l’arc BAC ou BFC eu deux parties égales ( n° 88 , récipr. 1 ") ; donc AB = AC, ou FB = FC.

3° Enfui, si les parallèles sont deux tangentes, ST, UV, la droite AF qui passe par les points de tangence est un diamètre (n° 148, récipr.) ; et alors les arcs ABDF, ACEF, égaux à la demi-circonférence, sont égaux entre eux.

I.a réciproque (le cette proposition, qae l’on démontrerait aisément par la réduction A l'absurde; serait la suivante:

t* Si deux arcs égaux'[d*un même cercle] n’ont aucune extrémité commune, les droites qui lient deux h deux nne extrémité de l’une il une extrémité de l'antre sans je couper dans l'intérieur du cercle, sont parallèles;

a” Si deux arcs égaux ont une extrémité commune, la droite qui joint les extrémités nou communes est parallèle A la tangente menée par l'extrcmité commune ;

3" lin lin , si deux arcs égaux ont leurs deux extrémités communes, les tangentes menées par ces extrémités sont parallèles; et alors chacun des deux ares est une dcmi-circonrétenee (n° 14s, récipr.).

N” i5o. Définitions. — Par opposition A la dénomination d 'angle au centre, on appelle angle excentrique , tout angle, APB (fig. <)8 — 10g), dont les côtés coupent ou touchent la circonférence, et dont le sommet est placé ailleurs qu’au centre , ce qui peut avoir lieu de trois manières principales et bien distinctes: l’angle pouvant avoir son sommet sur la circonférence même (fig. g8 — io4), ou entre le centre et la circonférence (fig. 106), ou hors du cercle (fig. 107, 108, et iog).

Parmi les angles excentriques, deux espèces surtout sont à considérer : Y angle inscrit APB (fig. g8 — io4), qui a son sommet sur la circonférence et dont les côtés sont des cordes; et Y angle circonscrit APB (fig. io5et 1 09), dont lés côtés sont des tangentes.

Si l’on considère un angle inscrit APB (fig. 102 et io3), et que l’on retranche delà circonférence entière, l’arc AP'B com-

Fig. 9»

Fig. ma et io3.

I t/J LIT. J ; CHiP. III ; $ III. —

Fi*, ina pris entre les côtés de cet angle , l’arc restant APB, ainsi que le “ ,o:1' segment correspondant, sera l'arc, on le segment, auquel T angle APB est dit inscrit. — De même , l’angle AP'B est dit inscrit à tare ou dans le segment AP'B.

Fig.io5. Quant à l’angle circonscrit APB ( Og. io5), nous appellerons corde de contact de cet angle , la corde qui joint les points de tangence, A, B, de ses côtés, avec la circonférence.

N" i5i. Théorème X. Fig. 98 — ioï.

Fig. (,8 Tout angle inscrit APB est la moitié de l'angle au centre ~~ 'OI- AOB qui correspond au meme arc AB [compris entre ses côtés] .

En effet, supposons d’abord que l’un des côtés, PB (fig. 98), passe par le centre; et menons le diamètre MON parallèle à la corde AP. Les angles MOB, PON , qui en résulteront, seront égaux à l’angle proposé APB (n° izjo). De plus l’arc PN étant, d’une part égal à l’arc AM (n° ifo), et d’autre part égal à l’arc MB (n° 1 19), les arcs AM et MB, et par suite les angles AOM et et MOB. seront égaux entre eux; donc l’angle MOB, ou son égal APB, est moitié de l’angle AOB. C.Q.F.D.

Si aucun des deux côtés ne passe par le centre , l’angle est la somme (fig. 99) ou la différence (fig. 100) de deux angles, APC, BPC, dont un côté PC passe par le centre ;-et comme on a alors

APC = { AOC et BPC sa J BOC , il en résulte encore , dans les deux cas ,

APB= 1-ÂOB.

A7. II. — On peut considérer comme limiledes angles inscrits , un angle, APB (fig. 101 ), formé par une tangente AA' et une corde PB qui se coupent au point de tangence ; et le théorème ' est également vrai pour un pareil; angle.

Si la corde proposée était un diamètre, la propriété énoncée serait évidente. Supposons donc le cas contraire ; et menons le diamètre POC et le rayon OB': l’angle APC étant