ANGLES EXCENTRIQUES. I

droit (n° 89), vaudra la demi - somme des angles supplé- Fig.101. mentaires POB , BOC ; or, ou sait déjà que BPG = g BOC :

donc APB = gPOB.

Ce que nous venons de dire pour l’angle aigu APB est applicable à l’angle obtus A'PB supplémentaire du premier : c’està-dire que l’angle A'PB est aussi moitié de l’angle [ plus grand que deux droits] correspondant à l’arc PKCB plus grand que la demi-circonférence ( n° 120).

Corollaire i". — L'angle inscrit dans un segment est aigu f>. I0„ (APB, üg. 103), ou obtus (AP'B, même fig.), ou droit (APB cl *«>3. ou AP B , fig. io3), suivant que le segment est supérieur, ou inférieur, ou égal à un demi-cercle ; — et réciproquement (11° 5i).

Coroll. 2. — Tous les angles, APB, AP'B, AP"B.. . . fjg ,<>}. (fig. so4), inscrits dans le même segment APPP'B , sontégaux, ainsi que les angles limites , BAL, ABK , que forme [du côté opposé à ce segment] sa base AB avec les tangentes , AL , BK , menées à ses extrémités.

Scolie. — On nomme arc , ou segment, capable d'un angle donné APB (fig. io4), un arc, ou un segment, APB, tel que tous les angles susceptibles d’y être inscrits sont égaux à l’angle APB.

N° i5a. Théorème XI. Fig. to5.

Tout angle circonscrit APB est supplémentaire de l'angle rig.io5 au centre AOB qui correspond au mégie arc [c’est-à-dire dont les côtés passent par les points de tangence, A , B].

Pour le démontrer, décrivons une seconde circonférence sur OP comme diamètre ; cette circonférence passera par les points A, B (n° i5i, coroll. 1"), puisque les angles OAP,

OBP, sont droits (n° 89). Alors, les angles AOB, APB, inscrits dans deux arcs dont la somme compose la circonférence entière AOBP , seront supplémentaires (n° i5i).

Corollaire. — Les angles circonscrits à des arcs égaux, sont égaux.

, t6 uv. I ; chap. ni ; § in ; —

Fig. io5. Scolie. — La droite OP étant un axe de symétrie de la figure (n° 86),

Les tangentes issues d'un même point P, et déterminées de longueur, PA , PB, sont égales.

N" 1 53. Remarque sur la mesure des angles excentriques. — Il résulte de ce théorème , qu’en prenant toujours pour unité d’arc, l’arc correspondant à l’unité d angle (n° 122) ,

Fig. t)S Tout angle inscrit APB (fig. 98, 99, et ioo ) a la même mc-

— 100. sure ( n° l22 ) que la moitié de Parc AB compris entre ses

côtés;

Et son supplément API a la même mesure que la moitié du reste de la circonférence.

Fig. 101. Cette proposition est applicable à tout angle , APB ou A'PB (fig. 101 ) , formé par une tangente AA' et une corde PB.

La mesure la plus naturelle d’un angle étant celle d’un arc de cercle décrit de son sommet comme centre et compris entre ses côtés (n° 122), la nouvelle mesure que nous venons d’indiquer ne doit être considérée que comme secondaire. Elle est cependant très utile dans un grand nombre de circonstances , pour évaluer plus facilement les angles , et pour les comparer plus commodément entre eux. — 11 en est de même des suivantes.

Fig. 106. Tout angle APB (fig. 106) formé par deux cordes, AC, BD [qui se coupent dans le cercle], a la même mesure que la demi-somme dt* arcs, AB, CD , compris entre ses côtés.

En effet, si l’on mène^iar le point D la corde DE parallèle à PA, il en résultera un angle EDB égal à l’angle proposé APB, et qui aura même mesure que la demi-sonîme des arcs AB et AE ou ce qui est la même chose (n° 1 49), des arcs AB et CD.

Pareillement , l’angle APD , égal à l’angle EDF formé par la corde ED [parallèle à AC] et le prolongement DF de la corde BD , a même mesure que la demi-somme des arcs DE, DC, et CB, Ou DE, EA, et CB, ou plus simplement, que la demi-somme des arcs AD et BC.