PR0BL. SUR LES PARALL

Tout angle APB formé par deux sécantes ( fig. 107 ), ou par Fig.io7 une sécante et une tangente (fig. 108), ou par deux tangentes '■* [angle circonscrit] (fig. 109) [le sommet de l’angle étant , dans les trois cas, extérieur au cercle], « la meme mesure que la demi-différence des arcs, AEB, CD (fig. 107) , ou AEB,

CB (fig. 108), ou AEB, AB (fig. 109), compris entre ses côtés.

En effet, si l’on mène parallèlement à PA, par ce point D ( fig. 1 07 ) la corde DE , ou par le point B ( fig. 108 et 1 09 ) la corde BE, il en résultera un angle EDB (fig. 107) ou EBG (fig. 108 et 109), correspondant à APB, et ayant même mesure que la moitié de AEB moins la moitié de AE ; et comme AE est égal à CD (fig. 107), ou à CB (fig. 108), ou à AB (fig. 109), il en résulte la proposition énoncée.

Quant h l'angle API (fig. 107, 108; et 109) supplément de APB, on déduit facilement de ce qui précédé, qu’il a même mesure que Parc CD plus la demi-somme des arcs extérieurs AC , BD (fig. 107), ou. Parc CB pins la moitié de Parc AC (fig. 108), ou enfin Parc AB (fig. 109), ce qui est conforme an théorème xi (n° i5x).

§ IV. — Problèmes qui dépendent de la théorie des Parallèles.

N" i54- Problème I. Fig. no.

Par un point C donné hors d'une droite AB, mener une pa- Fig. mo. ralielc à cette droite.

Analyse. — Soit CD la parallèle cherchée. — Si l’on mène une transversale quelconque CE, on aura des angles alternesinternes , CEB , ECD, égaux entre eux (n° njo).

irC Construction. — i° Menons une droite du point C à un point quelconque E de la droite AB. — 2° Du point E comme centre, et d’un rayon égal à EC, décrivons un arc CF coupant AB en F. — 3° Du point C comme centre, et du même rayon CE, décrivons un arc ED. — 4° point E comme centre et d’un rayon égal à la corde de l’arc CF (n° 90) , décrivons un

1 l8 LIV. I ; CBAP. 111 ; 5 IV. —

Fig. no. petit arc de cercle qui coupe l’arc ED eu un point D. — 5° Menons la droite CD.

CD est la parallèle demandée ( voyez les n°‘ 137 et 1 19).

a* Constr. — On peut aussi résoudre le problème en Fig. go. abaissant (n° 100) du point donné F (fig. 90) sur la droite donnée AB, la perpendiculaire EF; et élevaut (n°99) par le même point, sur cette perpendiculaire , une autre perpendiculaire CFD qui sera la parallèle cherchée.

Scolie i*r. — Réciproquement En combinant la première construction ci-dessus avec celles des numéros gg et 100, on peut résoudre, d’une autre manière, ce problème du numéro j 2g ( scol. 2. ) s

Élever une perpendiculaire à un segment de droite, par son extrémité , lorsque le segment ne peut être prolongé :

Il suffit en effet, pour cela , de mener , par un point quelconque, une perpendiculaire à la droite proposée ; puis, par l’extrémité de celle-ci, une parallèle à la perpendiculaire.

Scol. 2. — On peut encore, quand on sait mener une parallèle, Fig. 1 1 1 . Déterminer la grandeur de l'angle de deux droites , AB , CD

(fig. m), que l'on ne peut prolonger jusqu’à leur point de concours.

Pour cela, par un point A pris à volonté sur l’une , AB, des deux droites proposées, on mène une parallèle AE à l’autre droite CD [ce qui peut se faire, comme on vient de le voir, sans prolonger ces droites] : l’angle BAE est égal à l’angle cherché (n° 140).

N° i55. Puoblème II. Fig. 90.

Fig. 90. Une droite AB étant donnée, lui mener à une distance don-

née MN , une parallèle.

Deux parallèles étant partout également distantes, on peut, pour résoudre le problème : — Élever, par les points quelconques, E, G, de AB, les perpendiculaires EF, GI , égales entre elles et à la longueur MN : la droite CFID menée par les points F , I , sera la droite cherchée.