PROBL. SUR LES PARA LL

Ou bien : — Par un point quelconque E de AB élever la Fig. 90 perpendiculaire EF égale à MN ; puis , par le point F , élever sur EF la perpendiculaire CFD : ce sera la parallèle demandée.

Scolie. — Lorsque l’énoncé ne spécifie pas dans quelle région du plan (n°t3), par rapport à la droite donnée, la distance doit être comptée et la parallèle menée, il y a deux solutions.

N° i5G. Problème III. Fig. 112.

Par un point C donné hors d une droite AB, mener une autre Fig. 111 droite qui fasse avec la première un angle donné.

Construction. — i° Par un point quelconque D pris sur AB, menons une droite DE qui fasse avec AB un angle égal à l’angle donné (n° 129). — 20 Menons CF parallèle à DE (u° 1 54 ) •

CF sera la droite demandée.

En effet, etc. ... ( n° i4° )•

Scolie iCT. — Ce problème a. deux solutions quand on ne précise pas la position de la droite demandée.

Scol. 2. — On peut également , au moyen d’une parallèle auxiliaire, résoudre le problème 11 (n® 100): on ramène ainsi la question à la résolution du problème 1 ( n° 99).

N° iSq. Problème IV. Fig. ii3.

Décrire, sur un segment de droite donné AB, un arc ca- Fig. n3 pable d’un anfle donné C (n° i5i , scol.).

Analyse. — ACB étant supposé l’arc demandé, l’angle ACB a même mesure que la moitié du reste ADB delà circonférence (n° i5l). — Supposons que par le point A , on mène à cette circonférence une tangente MAN : cette tangente fera avec AB deux angles supplémentaires, dont l'un, BAM, aura aussi même mesure que la moitié de ADB (i5i , N. D. ), et sera par conséquent égal à l’angle donné.

Construction. — t° Menons par le point A , mie droite MAN qui fasse avec AB un angle MAB égalé l’angle donné (n° 129).

t ao

LIT. I ; CHAP. (Il ; § IT. —

Fig- ii 3. — a” Décrivons nnc circonférence qui touche MN en A et qui passe par le point B (n® io3 ).

L’arc ACB [situé dans l’angle supplémentaire BAN] sera , d’après l’analyse, l’arc demandé.

Scolie i*r. — Le second segment ADB donné par la même construction , est capable du supplément BAN de l’angle donné.

S col. a. — Si l’angle donné est droit, l'arc cherché est une demi-ciraonférence dont la droite donnée est le diamètre. Le centre se trouvant au milieu de cette droite, la construction de la droite MN devient inutile ; et le problème rentre dans celui du numéro 10a ( i®).

Scol. 3. — On a ainsi un nouveau moyen de résoudre le problème du numéro 106 , c’est-à-dire : de Fig.ii4- Mener une tangente à un cercle OA ( fig. t >4) > Par un point extérieur.

Pour cela: — t° Sur OT comme diamètre décrivons une circonférence (n° 102, i°). — 2° Au point d’intersection A des deux circonférences, menons dans le cercle donné, le rayon OA. — 3® Menons la droite TA.

Cette droite sera la tangente cherchée.

En effet , l’angle TAO est droit ; etc.. . . (n° 8g).

La discussion de cette construction ne peut offrir de difficulté après la discussion que nous avons donnée pour le même problème , au numéro 106.

N" i58. Problème V. Fig. ii5.

Fig. n5.

Déterminer un point D , connaissant les angles que font entre elles trois droites qui le lient a trois points donnés , A , B, C.

Il -uflit do décrire , sur deux des trois droites données, sur AC et BC par exemple, des arcs respectivement capables des deux angles dounc's ADC , BDC in* s 57). Le second point d'inlorscction , D, de ces deux arcs, sera le point cherché.

On pourrait egalement décrire, sur la troisième droite AB, l’src capable de l’angle ADB. Cet arc devrait passer par le point D, ce qui fournit nnc vérification , on une rectification , do la solution déjà obtenue.

— PROBL. SUR LES PARALL.

N° i5g. Problème VI. Fig. u6et 117.

Mener une droite tangente h deux cercles donnés f OT, ot.

Analyse. — Soit T t une tangente commune aux deux cercles : cette tangente sera perpendiculaire aux rayons OT, ot (n° 89). Si du point O , centre du plus grand cercle, et d'un rayon OG égal à la différence ( Gg. 116) ou à la tomme ( Gg. 117) des deux rayons donnes , on décrit nne circonférence OG, et que du point o, centre du plus petit cercle, on mène une parallèle à Tl , celte parallèle sera tangente au cercle OG.

Construction. — i° Du centre O du plus grand des denx cercles [on peut également employer le pins petit] , et d'un rayon égal h la différence (Gg. 1 16) ou h la somme ( fig. 117) des deux rayons donnés, décrivons une circonférence OG. — a° Du centre o dn petit cercle menons des tangentes, oG, 0G7, au cercle OG ( n# 106), [on marquons simplement les points tic tangence, G, G']. — 3® Menons les rayons OG, OG7; et prolongcons-les jnsqu'Ma rencontre de la circonférence OT, en T, T7. — 4° Menons, dans le plus petit cercle, des rayons of, ol7, parallèles h OG, OG7(n° i54). — 5° Menons les droites Tl, Tl7.

Ces droites sontlcs tangentes cherchées, d'après l'analyse.

Discussion. — Lorsque les deux cercles donnés sont extérieurs l'un à l'autre, il y a quatre solutions. — Quand ces cercles se touchent extérieurement , il n'y a plus que trois tangentes, parce que deux d'entre elles se confondent en une seule passant par le point de contact des deux cercles. — Quand les deux cercles se coupent, il y a seulement deux solutions. — Il n'y en a plus qu'une lorsque les deux cercles se touchent intérieurement. — Enfin le problème est impossible lorsque les cercles sont intérieurs l’un à l'antre.

Dans le cas particulier où les deux cercles donnés seraient égaux , les tangentes extérieures s'obtiendraient en élevant des diamètres perpendiculaires Ja ligue des centres ( n° 99 ) , et menant des droites par les extrémités de ces diamètres.

JY . D. — Voyez à la lin du volume , dans la Note A , ce qui est relatif à la construction des parallèles au moyen de 1 équerre et de la fausse-équerre.

Digi

Fig. 1 iG

et 117.