TRIANGLES EN GÉNÉRAL

'On en conclut également [comme ci-dessus ( n° 162 ) ] que Fin- "9 chaque hauteur du triangle tombe dans l'intérieur ( fig. 119), ou se confond avec l’un des côtés (fig. 120), ou tombe à l’extérieur (fig. 121), suivant que les angles à la base sont tous deux aigus, ou que l’un de ces angles est droit, ou obtus; et de plus, que dans ce dernier cas, l’angle obtus est celui dont le sommet est le plus voisin du pied de la perpendiculaire.

N“ 164. Théorème II. Fig. 46.

i° Lorsque deux côtés , AE, BE, d’un triangle ABE, sont Fig. 46. égaux , les angles opposés sont égaux ;

2° Lorsque deux côtés AF, BF, d'un triangle ABF, sont inégaux, au plus grand côté BF est opposé un plus grand angle.

Par le pointC, milieu du troisième côté AB, supposons d’abord qu’on élève une perpendiculaire. — Cela fait :

1" Cas : — Les deux côtés AE, BE, étant égaux, la perpendiculaire élevée au point C passera par le sommet E ( n° 85 ) ; et alors les angles A et B seront égaux (n° 84).

( y oyez aussi le n® 117»)

2' Cas : — Puisque l’on a BF>AF, la perpendiculaire coupera BF en un point E (n° 85, scol. 2.); et alors, en menant

AE , on aura angle BAE = angle ABE ;

et par conséquent angle BAF > angle ABF.

Réciproque évidente (n° 5i): — i° Lorsque deux angles d’un triangle sont égaux, les côtés opposés sont égaux ;

2° Lorsque deux angles d’un triangle sont inégaux , au plus grand angle est opposé un plus grand côté.

Scolie t". — Le premier cas du théorème précédent et de sa réciproque étant celui du triangle isocèle, il en résulte que

Dans un triangle isocèle ABC ( fig. 122), les angles, A, B, Fig.m. opposés aux côtés égaux , sont égaux; — et réciproquement, etc.

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J2Ô LIV. I ; CBAP. IV; § I. —

Il s’ensuit encore , que

Le (ri angle isocèle es lune figure symétrique (n°86) ayant pour axe la droite qui joint le milieu D de la base avec le sommet ;

Et que par conséquent : — Cette droite partage le triangle en deux triangles rectangles égaux , ayant pour hypoténuses respectives les deux côtés égaux.

La théorie des obliques, combinée avec la proposition du numéro 4q, et appliquée au cas du triangle isocèle , donne encore lieu, comme dans le numéro 88 ( scol. i"), à plusieurs propositions que l’on peut résumer comme il suit.

Dans un triangle isocèle :

r° La droite qui partage en deux parties égales l’angle du sommet , est perpendiculaire sur le milieu de la hase ;

2° La droite menée du sommet au milieu de la base, partage en deux parties égales l'angle du sommet , et tombe perpendiculairement sur la base;

3° La perpendiculaire abaissée du sommet sur la base, partage en deux parties égales l’angle du sommet, ainsi que la base;

4° La perpendiculaire élevée sur le milieu de la base, partage eu deux parties égales l’angle du sommet.

Et réciproquement : — Un triangle est isocèle :

l* Si la droite qui partage en deux parties égales un des angles de ce triangle , pa*>sc par le milieu du côte oppose ;

ou — 30 Si une pareille droite est perpendiculaire sur le côte oppose;

ou — 3o Si la droite menée d’un sommet au milieu du côté oppose partage l’angle du sommet en deux parties égales;

on — 4° Si une pareille droite est perpendiculaire snr le côté opposé ;

on — 5° Si la perpendiculaire abaissée du sommet d’un angle sur le côte' opposé t partage cet angle en deux parties égales;

ou — 0° Si une pareille droite passe pur le milieu du côté opposé;

ou enfin — 70 Si la perpendiculaire élevée sur le milieu d’un côté passe par le sommet opposé.

Fi". ia3. Scol. 2. — Un triangle équilatéral (fig. 123) est en même temps équiangle ;

Et Réciproquement i — Un triangle équiangle est en même temps équilatéral.