TRIANGLES EN GÉNÉRAL. I

Le triangle équilatéral est donc un triangle régulier (u° -j5). Fig. n3

Chacun de ses angles a pour valeur les 3 d un droit (u° 1 63) ,

ou 6o°, ou 66*r J. Cette circonstance que présente l’angle du triangle équilatéral , de contenir un nombre exact de degrés tandis qu’il ne peut s’exprimer que par un nombre fractionnaire de grades, est assez importante dans un grand nombre de cas , et pourrait motiver, jusqu’à un certain point , la préférence que l'on accorde souvent à la division sexagésimale sur la division centésimale.

Le triangle équilatéral a trois axes de symétrie (n°86):

— ce sont les droites menées des sommets, A, B, C, de chaque angle , aux milieux , A', B', C', des côtés respectivement opposés. Ces trois axes se coupent en un point O que l’on nomme

ordinairement le centre du triangle équilatéral , et qni est également distant, d’une part, de ses trois sommets, et de l’autre. de ses trois côtés.

Scol. 3. — Dans un triangle quelconque , au plus grand ou au plus petit des trois côtés est opposé le plus grand ou le plus petit des trois angles ; — et réciproquement.

Ainsi — i° Dans un triangle rectangle (fig. 120), l'hypo- Fig.no. lénusc AC est le plus grand des trois côtés ;

Et — 2° Dans un triangle obtus angle ABC (fig. 121), le plus Fig. îat. grand côté est celui qui est opposé à l’angle obtus B.

N° iG5. Théorème III. Fig. 125.

Dans un triangle rectangle ABC, le milieu de l’hypoté-Y ig.,a5. nuse BC est également distant des trois sommets.

En effet, puisque l’angle droit, A, est égal à la somme des deux angles aigus, B, C, menons une droite AD qui partage cet angle droit en deux parties, BAD, CAD, dont la première soit égale à B : la seconde sera nécessairement égale à C. Le triangle ABC se trouvera donc ainsi partagé (n° 1Ü4, récipr.) en deux triangles isocèles , DAB, DAC, ayant pour sommet commun le point D, et pour bases respectives AB, AC; d’où il résulte , d’abord que le point D ainsi déterminé sera le milieu

128 L1V. I ; CIUP. IV ; § I. —

de l’hypoténuse, et ensuite, que ce point sera également distant des trois sommets ; C.Q.F.D.

Scolie. — Dans un triangle rectangle , la droite menée du sommet de r angle droit au milieu de l’hypoténuse , partage le triangle en deux triangles isocèles ayant respectivement pour bases les deux côtés de l’angle droit.

Corollaire. — Si, du milieu de l’hypoténuse , comme centre, et d'un rayon égal à la moitié de celle hypoténuse , on décrit un cercle , sa circonférence passera par les trois sommets ; et elle aura l’hypoténuse pour diamètre.

Réciproque. — Lorsque dans un triangle ABC , le milieu D d'un côté BC est également distant des trois sommets , le triangle est rectangle; — [et ce côté en est l’hypoténuse].

Fig. ia5. En effet, d’après l’hypothèse, les distancés AD, BD, CD, étant égales, les angles BAD, ABD, sont égaux ( n” i64) > ainsi que les angles CAD, ACD; d’où il résulte que