TRIANGLES EN GÉNÉRAL. . I3K

A tout triangle on peut circonscrire un cercle , Fig.o6.

Ou bien — Tout triangle est inscriptiblé à un cercle.

Coroll. 2. — Le point 0 est le seul qui soit également distant des trois sommets du triangle.

Donc — Trois points , non situés en ligne droite, déterminent complètement une circonférence de cercle [ce qui est conforme à ce qu’on a déjà dit au numéro g3. — Voyez aussi les numéros 10a (3° et N. B.), et 1 43 (*cot.)'].

Coroll. 3. — Le centre d’un cercle est le seul point de son plan qui soit également distant de trois points de sa circonférence. >

Scolie. — Le centre du cercle circonscrit à un triangle peut se trouver dans l’intérieur de ce triangle, ou sur l’un des côtés, ou à l’extérieur. Nous avons déjà prouvé dans le numéro i65, que le second cas a lieu quand le triangle est rectangle ; et il résulte d’ailleurs plusgénéralemenl du numéro i5i ( coroll . 1"), que le centre du cercle circonscrit est intérieur ou extérieur au triangle , ou situé sur l’un des côtés, suivant que ce triangle est acutangle ou obtusangle, ou rectangle.

N° 167. Thkohème V. - Fig. 127.

Dans tout triangle ABC, les droites qui partagent les angles Fig. en deux parties égales , concourent en un même point.

Considérons deux de ces droites, AO, BO : el^es se coupent en un point O situé dans r intérieur du triangle , et également distant des trois côtés (n° u5); doue la droite menée de ce poiut .au sommet C partage l’angle C en deux parties égales : donc , etc.

Corollaire i". — Le point O étant égalemenl distant des trois côtés du triangle, si l’on abaisse de ce point les perpendiculaires OA', OB', OC, respectivement sur les trois côtés BC,

AC, AB, ces perpendiculaires seront égales; d’où il résulte

, l3o LIT. I; CHAP. IT; $ II- —

Fig. 197. qu’en décrivant un cercle du point 0 comme centre et d’un rayon égal à OA' = OB'— OC', sa circonférence touchera les trois côtés respectivement aux points A', B', C' ( n* 89), et sera par conséquent inscrite au triangle (n° 74 )•

Ainsi — A tout triangle on peut inscrire un cercle.

Ou bien — Tout triangle est circonscriptible au cercle.

Coroll. 2. — Le point 0 est le seul point intérieur au triangle ABC , qui soit également distant de ses trois côtés

Donc — Un cercle est complètement déterminé quand on sait qu’il est inscrit à un triangle.

Seolie. — On peut prouver de la même jnanière , que chaque droite Fig. 198 qui partage en deux parties égales l’un des angles d’un triangle ABC (Qg. t38), passe par le point de concours des droites qui partagent en deux parties égales les supplément de* deux autres angles. D’oh il résulte que, de chacun des trois nouveaux points de concours, a, b, a, comme centre, on peut décrira nne circonférence qui touche & la fois l’un des cAtés du triangle et les prolongement des deux autres.— Les trois cercles ainsi obtenus sont dits ejc irucrit, au triangle.

Deux quelconque des quatre centres sont toujours en ligne droite avec un de* sommets. De plut, chacune des droites qui lient les centres de deux de* cercles cx-intcriu, avec un sommet du niangle, est perpendiculaire à la droite qui lie ce même sommet avec le centre du cetcle intérieur.

. . * § IL — De l’Égalité des Triangles.

N* i68. „ Lemme. Fig. 129.

Fig. 139 Si deux droites déterminées de longueur AB , CD, se coupent en un point f situé entre leurs extrémités , et qu’on lie ces extrémités par deux autres droites, AC, DB, de manière à former deux triangles , IAC, IDB, opposés par un sommet I, la somme des deux dernières droites est toujours moindre que celle des deux premières.

En effet, on a les inégalités