A'C' + C'B' < AC + CB

Fig. ng.

l3a L1 V. I; cnAP. IV; 5 II. —

l'ig. <3u. ce qui est absurde, puisque l’on a , par hypothèse,

A'C = AC et C'B' = CB.

Dans le deuxième cas , on aura

BE < BC, ou B'C' < BC; ce qui est également contraire à l’hypothèse.

Enfin, dans le troisième cas, on aura de même (n° 168) :

AC + BF < AF + BC, ou bien AC + B'C' < A'C' -f BC ;

ce qui est absurde , comme ci-dessus.

Donc enfin, le point C' tombera sur le point C , et par conséquent les deux triangles se confondront. C. Q. F. D.

Scolie. — Un triangle est déterminé par ses trois côtés.

N° 170. Théorème Vil. Fig. i3i.

Fig. i3i. Feux triangles sont égaux lorsqu’ils ont deux côtés égaux chacun à chacun, AB = A'B', AC = A'C', ainsi que T angle compris par ces côtés , A = A'.

Appliquons le côté A'B' sur son égal AB, et le triangle A'B'C' sur le plan ABC, de manière que les côtés et les angles égaux se correspondent (n° 169) : l’angle A' étant égal à l’angle A, le côté A'C' prendra la direction AC; et comme A'C' =AC, le point C tombera sur le point C : doue les deux triangles coïncideront.

Scome. — Un triangle est déterminé par deux côtés et V angle compris.

171. Remarque sur les deux théorèmes précédens. — Les démonstrations de ces deux théorèmes prouvent en même temps la proposition suivante :

Fig. i3o Lorsque deux côtés, AB, AC (fig. i3o’et t3i), d’un triangle cl ,3|‘ ABC sont égaux chacun à chacun à deux côtés, A'B', A'C’, d’un autre triangle A'B'C' [de manière que l’on ait AB= A'B', AC=A'C], suivant que r angle A compris par les premiers

ÉGALITÉ DES TRIANGLES. 1 33

. rst égal (fig. i3i), ou supérieur (üg. i3o), à l’angle A' corn- Fig. i3o pris par les derniers, le troisième côté BC du premier triangle ct I^1’ est égal ou supérieur au troisième côté B'C du second triangle.

Il suffit en effet, pour démontrer directement cette proposition, d’appliquer au premier cas [A = A'} le raisonnement du numéro 170, et dans le second [A>A'], d’imiter le raisonnement du numéro 169 — (*).

La réciproque de cette proposition est évidente d'après le numéro 5i , et elle comprend visiblement le théorème vi, que l’on peut , de cette manière , faire dériver du théorème vu.

N° 173. Théorème VIII. Fig. i5i.

Deux triangles sont égaux lorsqu’ils ont un côté égal {**) , Fig. iJi. ABr=. A‘B', adjacent à des angles égaux chacun à chacun, A=A',B=B\

Appliquons le côté A'B' sur son égal AB, et le triangle A'B'C sur le plan ABC, de manière que les angles égaux se correspondent (n° 169) s l’angle A' étant égal à l’angle A, le côté A'C' prendra la direction AC ; et l’angle B' étant égal a l’angle B, le côté B'C' prendra la direction BC. Le point C, se trouvant ainsi à la fois sur AC et sur BC, coïncidera avec le point C , et les deux triangles se confondront.

Scolie 1". — Un triangle est déterminé par un côté et les angles adjacens.

Scol. a. — On peut dire encore, que

Deux triangles sont égaux lorsqu'ils ont un côté égal, ainsi que Uqngle opposé et l’un des angles adjacens :

Car, dans cette hypothèse, les angles adjacens sont nécessairement égaux chacun à chacun (n° t63).

(*) N ou* engageons Ica élèves A reprendre en particulier la démonstration de* proposition* du numéro 171 , qui sont fort impôt tante* par elles-mêmes.

(•*) Celte locution , quoique inexacte , est employée A cause de sa brièrrté. Les énoncés de la plopart des théorèmes de ce paragraphe donneraient lieu A des remarques analogue*.