LIV. I J CHAP. IV ; $ II

Théorème IX.

Fig. 1 3a,

Fig. 1 3a. Deux triangles sont égaux lorsqu’ils ont deux côtés égaux chacun h chacun, AB= A'B', BC= B'C', ainsi que l'angle opposé à l’un des deux , A = A', pourvu que Fdtogle, C , C* opposé au second côté , soit de même espèce dans les deux triangles, c'est-à-dire aigu, 00 droit, ou obias h la fois.

Appliquons le côté A'B' sur son égal AB, et le triangle A'B'C' sur le plaît ABC, de manière que les côtes et les angles égaux se correspondent (n° 1G9): Panglc A' étant égal à l’angle A, le côte' A'C' prendra la direction AC.

Quant au côté B'C' , il faut distinguer (feux cas : ou ce côté est perpendiculaire 1k A'C', ou il lui est oblique.

10 Si B'C' est perpendiculaire à A'C', BC est aussi perpendicnlaire à AC , d'après l'hypothèse. Or, comme on ne peut abaisser, d'un mcuie point B., deux perpendiculaires à une même droite AC, il s'ensuit que le point C' tombera sur le point C : donc les deux triangles coïncideront.

a° Si an contraire B'C' est oblique sur A'C', alors BC est aussi oblique sur AC. Dans ce cas, soit BD la perpendiculaire à AC menée par le point B : la droite B'C' sera susceptible de prendre deux positions, BC,Bc egalement distantes delà perpendiculaire BD. Mais des deux angles ACB . AfcB, l'on est nécessairement aigu et l'antre obtus (n° 117); donc si les angles C| C', sont de même espèce, le point C' tombera sur le point C : et ainsi les deux triangles se confondront encore.

JV. B.—r II faut remarquer cependant , que la droite B'C' ne sera pas toujours susceptible de prendre deux positions opposées à l'angle A comme nous venons de le supposer. Elle n’en aurait qu'nue si A et A' étaient obtus ou droits ; et elle n'en aurait qu’nnc encore si , ces angles étant aigus , on avait

AB [=-A'B/] < BC [ = B'C' J {Voyez le n« 84).

Scolic Ier. — Un triangle est déterminé par deux côtés et l’angle opposé h l’un des deux , pourvu toutefois que l'on connaisse l’espèce de l’an ' gle o pose au second côté.

Scol. a. — Comme l'équivoque à laquelle est soumis le théorème précédent, a lieu seulement lorsque l’angle donne est opposé au pins petit des deux côtés donnés, on peut affirmer que

Deux triangles sont égaux lorsqu’ils ont ‘deux côtés égaux chacun a chacun , ainsi que l’angle opposé au plus grand de ces deux côtés ;

D'ou il résulte que

Un triangle est complètement déterminé par deux côtés et l’angle opposé au plus grand des deux.

— ÉGALITÉ DES TRIANGLES. l35

N® 174. Remarque sur tes quatre théorèmes précédent.

— Bien que, dans la composition d’un triangle quelconque, il entre toujours six choses principales ou six élément, savoir trois côtés et trois angles, cependant, pour être assuré qu’il y a égalité' entre deux triangles , il n’est pas nécessaire que l’on sache à priori que les six élémens de l’un sont égaux aux six élémens de l’autre, chacun à chacun : trois de ces égalités partielles suffisent en général pour entraîner l’égalité totale des deux triangles ; mais il faut pour cela que quelques autres conditions soient remplies.

La première condition est , qu’au nombre des trois données communes, il se trouve aà moins un côté. Il est facile de voir que les trois angles ne suffisent pas : car si , dans un triangle quelconque ABC (fig. 1 33) , on mène à l’un des côtés BC une Fig. ■ 3*. parallèle B'C', le triangle AB'CT qui en résultera , sera éqniattgle avec le premier à cause de l’égalité des angles correspondans,

B et B*, C ét Cf\': ' **>. »&«»< un «vriiafoi

En second lieu , il est nécessaire que les angles égaux soient à la fois opposés ou adjacens aux côtés égaux.

Noua avons ru d’ailleurs (n° ij3) que, si les Siemens communs aux deux

triangles sont deux côtes et l’angle oppose A Ton d’eux , l’angle opposé i l’autre côté doit être de même espèce dans les denx triangles, mais qu’afe surplus , cette restriction n'est pas toujours nécessaire.

N° 175. Remarque sur les lrianglessjrmétriques.->— On sait qu’il y a, pour les figures planes, deux sortes d’égalité, ou deux modes de superposition (n° 43), lesquels- n’ont point été distingués dans les théorèmes précédens. Les trois élémens communs aux deux triangles peuvent donc, dans les diverses hypothèses que nous avous faites (n°* 169, 170, 17a, et 173), être disposés, pour chacun d’eux, de la même manière ou d’une manière absolument inverse ; et suivant que l’un ou l’autre des deux cas aura lieu , la superposition des deux triangles se fera directement ou inversement (n°45)-

De plus, comme il n’y a évidemment que deux manières de disposer entre eux les trois côtés d’un triangle, puisque chacun