LIV. I; CHAP. IV; § II

de ces trois côtes est toujours consécutif de chacun des deux

autres, il s’ensuit, d’abord que

Deux triangles symétriques entre eux (n°43) ont nécessairement leurs côtés égaux chacun à chacun mais inversement disposés ;

'Et ensuite que

Deux triangles respectivement symétriques d'un troisième sont toujours nécessairement égaux entre eux et directement superposables. :

K° 176. Remarque sur le triangle isocèle. — On a vu dans le numéro i6i que le triangle isocèle est une figure symétrique par rapport à la droite (n°86) qui joint son sommet au milieu de sa base, lien résulte que deux triangles isocèles égaux sont susceptibles à la fois des deux modes de superposition [directe et inverse]; et l’on conçoit que, par suite, les propositions relatives au triangle isocèle peuvent être déduites, comme corollaires , des théorèmes relatifs à l’égalité des triangles en général.

(fest ainsi que du théorème vi (n° 169 ) , ou du théorème vii (n° 170), on peut conclure directement cette proposition (n* i64), que .< .. . „

Fig. 134. Dans tout triangle isocèle ABC ( fig. 1 34 ) , les angles, B , C, opposés aux côtés égaux, AC , AB , sont égaux.

.En effet, si l’on retourne le triangle ABC de manière qu’il prenue la position A'CB' inverse de la première, les deux triangles ABC, A'C'B', pourront être considérés, soit comme ayant les trois côtés égaux chacun à chacun, savoir :

BCrzeCB'; AB=A'C', et AC= A'B' ; soit comme ayant deux côtés égaux chacun à chacun : AB=A'C, AC = A'B', comprenant le même angle A= A' ; donc ils seront égaux de telle manière que l’on aura

C' = B, B — C, ou simplement, B = C.

Pareillement , du théorème vin (n“ 1 72) on peut conclure que,

\— ÉGALITÉ DES TRIANGLES

Si deux angles , B, C, d'un triangle ABC, sont égaux , les L-'ig. ,34côtés AC, AB , opposés à ces angles , sont égaux; — et que par conséquent — le triangle est isocèle.

En effet, les deux triangles ABC, A'C’B', ont un côté égal, BC=C'B', adjacent k des angles égaux cliacun à chacun,

B = C', Ce=B', d’où résulte

AB = A'C' et AC = A'B', ou simplement, AB=AC.

N° 177. Remarque sur le triangle rectangle. — Puisque, dans un pareil triangle, un angle aigu détermine toujours le second, on peut conclure, comme cas particulier du théorème \ut (n° 172) [en supposant droits les angles C etC'deln Fig.iîi. figure i3i], que

Deux triangles rectangles sont égaux lorsqu ils ont chacun à chacun l'hypoténuse égale et un angle aigu égal foutre l’angle droit].

11 est d’ailleurs facile de voir à priori que si , en faisant coïncider leshypoténusesainsi que les angles aigus que l’on suppose égaux [A et A' par exemple J, les angles droits ne coïncidaient pas, on pourrait abaisser, d’un même point B, deux perpendiculaires sur une même droite AC ; — Ce qui est absurde.

De même, en supposant droits les angles A et A' dans le pig. i3a, théorème îx ( n° 1 73 ) et dans la figure 1 3z , on peut conclure de' ce théorème, que

Deux triangles rectangles sont égaux lorsqu'ils ont, chacun à chacun , l’hypoténuse égale et un second côté égal.

C’est d’ailleurs ce que l’on peut voir d’une autre manière en observant que si , après avoir superposé les côtés égaux AB et A'B', ainsi que les angles droits A et A', les hypoténuses ne * coïncidaient pas , on pourrait, d’un même point B , mener à la droite AC , et d'un même côté de la perpendiculaire , deux obliques égales.

Nous engageons les élèves, en raison de l’importance de ces divers cas particuliers, à en reprendre directement la dé monstration.