DU QUADRILATÈRE

§ I" — Du Quadrilatère en général.

N° 191. Nous savons déjà ( n° 74 ) que l’on nomme Quadrilatère [ou quadranglé], le polygone de quatre côtés, c’est-àdire le système de quatre droites indéfinies qui sc coupent deux à deux, ARE, ADF, BCF, ECD (fig. «42), ou bien la portion Fig.i4a. de plan circonscrite par quatre droites limitées.

Dans ce dernier sens le quadrilatère est dit simple, et il y en a de trois espèces (fig. i43): le quadrilatère convexe, ABCD, Fig.143.' qui a tous ses angles saillaus, le quadrilatère concave , AECF, ayant un angle rentrante, elle quadrilatère biconcave, BECDF, formé de deux triangles opposés, BEC, CDF.

Ces uo»> espèces de quadrilatères sc trouvent comprises dans le quadrilatère considère sous Je premier point de vue [ h moins cependant qu'au nombre des quatre côtes il ne se trouve des parallèles] : c'est pourquoi, par opposition, or. nomme le système des quatre droites , un quadrilatère complet •

Chaque quadrilatère simple a deux diagonales ( n° 74 )•

Ces diagonales sont AC, BD, pour le quadrilatère ABCD (Fig. i4? et npj; pjga elles sont toutes deux intérieures. — Le quadrilatère AECF a une diagonale cti}3. intérieure AC , et une extérieure EF. — Enfin les deux diagonales, BD, EF, du quadrilatère BECDF, sont extérieures. — Les diagonales intérieures d'un quadrilatère simple le décomposent toujoars en deux triangles; de plus, elles peuvent en être des axes de syrae'lric.

Un quadrilatère complet a trois diagonales , lesquelles , prises deux h. deux, ne sont autres que celles des quadrilatères simples dont il picscntc la réunion.

192. Le quadrilatère simple convexe est celui dont on a le plus souvent occasion de s’occuper, et dont on est toujours

l5o IIV. ! ; CRAP. T; § l. —

censé parler, à moins d’indication contraire. Dans cette espèce de quadrilatère , on nomme côtés opposés, detfX côtés qui n’ont aucune extrémité commune: tels sont, dans le quadrilatère Fig. i43. ABCD ( fig. i43 ), d’une part AB, DC, et d’autre part AD, BC. On nomme de même, angles opposés, les angles A, C, ou B, D, qui n’ont aucun côté commun.

Lorsqu’un quadrilatère convexe est isolé sur un plan , il suffît , pour le distinguer, d’employer les lettres placées aux sommets de deux angles opposés, comme AC, ou BD ; mais en général on énonce toutes les lettres.

Il y a plusieurs variétés remarquables de quadrilatères convexes ; nous les examinerons particulièrement après avoir démontré un théorème sur les quadrilatères convexes en général.

On pourrait établir, sur l’égalité et la détermination des * quadrilatères , plusieurs théorèmes analogues à ceux que nous

avons établis pour les triangles (n°* 169, 170, 17a, 173); mais nous ne nous y arrêterons pas, devant donner plus loin , pour les polygones d’un nombre quelconque de côtés, des théorèmes dont les premiers ne sont que des cas particuliers. Observons seulement que le nombre des côtés donnés doit être au moins égal à deux; car si l’on prend un quadrilatère, et que l’on fasse mouvoir un de scs côtés parallèlement à luimême, sans changer la position ni la grandeur du côté opposé et des angles adjacens à celui-ci, on obtiendra une série de quadrilatères qui seront tous différais, bien qu’ayant un côté commuu et tous leurs angles égaux et disposés de la même manière chacun à chacun.

N° if)5. Théorème I. Fig. i43.

La somme des angles d'un quadrilatère coneexe ABCD, est égale à 4 droits.

Cette proposition résulte évidemment de ce que la tomme des angles du quadrilatère n’est autre chose que la somme des

— QUADRILATÈRE. — PARALLÉLOGRAMME. tSl

angles des triangles dans lesquels chaque diagonale, AC ou BD, Fig. i$J. le décompose (n01 191 et i63 ).

Sco/ie. — La proposition est egalement Traie pour le quadrilatère eon cave AECF, ai Pon considère la somme des angles ACE , ACF, comme formant l'angle C du quadrilatère (n° tao).

Quant au quadrilatère biconcave, puisqu'il est compose de deux triangles opposes , on ponirait encore , i la rigueur, et sous cc poiut de vue , regarder la proposition comme vraie i< son egard.

Corollaire . — Lorsque deux angles d’un quadrilatère sont droits, les deux autres sont supplémentaires. Si de plus les angles droits sont opposés, il est facile de déduire du théorème démontré au numéro i65, que le quadrilatère est inscriptible dans un cercle qui aurait pour diamètre la diagonale opposée aux deux angles droits; mais cette proposition n’est qu’un cas particulier d’une autre plus générale que nous démontrerons plus loin (n° 208).

§11. — Du Parallélogramme.

N° 194. On nomme Parallélogramme (*), un quadrilatère , Fig. 144. MNOP (fig. 144) , dont les côtés opposés sont parallèles deux à deux. — Deux côtés opposés quelconques du parallélogramme, par exemple MN , OP, se nomment les bases, et leur perpendiculaire commune AB est la hauteur.

Un parallélogramme est déterminé par deux côtés adjacens et l’angle compris ; d’où il résulte que

Deux parallélogrammes sont égaux lorsqu'ils ont un angle égal compris entre des côtés égaux chacun à chacun.

N* ig5. Théorème II. Fig. 1 44*

Dans tout parallélogramme MNOP, les angles opposés sont égaux deux à deux ; — et réciproquement.

Des propriétés des parallèles coupées par une transversale

(*)De r*p«xx»Mi , parnUrt«r{ soytr. pnçe 100) ; et lignes.

l5a UV. I j CHAP. V; § II. —

Fig. 144. (n° i/,o) il résulte que, dans tout parallélogramme , deux angles adjacens à un même côté sont supplémentaires : ainsi par exemple

M -j- K =2 droit * , et N -f- 1* = 2 droits ; d’où il résulte que

M = P, et par suite N = O.

Réciproquement : — Si les angles opposés d’un quadrilatère convexe sont égaux deux à deux , la figure est un parallélogramme.

En effet, la somme des quatre angles valant 4 droits (n® ig3), il s’ensuit que les angles adjacens à un même côté sont supplémentaires : donc les côtés opposés sont parallèles deux à deux (n° 139).

Scolie. — Dans tout parallélogramme , les angles adjacens à un même côté sont sujjplémcntaires.

D’où il résulte qu’à moins d’avoir tous ses angles droits, le parallélogramme a toujours un couple d’angles aigus opposés et un couple d'angles obtus également opposés.

t> ’ ' TV-

N® 196. Théorème 111.*'* Fig. 144.

Dans tout parallélogramme MNOP , les côtés opposés sont égaux deux à deux.

En effet, menons la diagonale ON : nous formerons ainsi deux triangles M N 0 , PON , ayant un côté commun ON; de plus, l’angle MNO = NOP , et l’angle MON = ONP (n° i4®); donc les deux triangles sont égaux (n° 172) : donc MN = OP; et de même M0 = N P.

Scolie 1". — r Ce théorème s’énonce encore de la manière suivante :

Les portions de parallèles comprises entre parallèles sont égales;

Le théorème que — Deux parallèles sont partout également distantes (n° i40 — en est un cas particulier.

— PARALtÉLOGRAMME. \Si

Scol. a. — Chaque diagonale d’un parallélogramme le Fig. i4f. partage en deux triangles égaux.

N* 197. Théorème IV. Fig. i44*

Si les côtés opposés d'un quadrilatère , MNOP, sont égaux deux à deux , ce quadrilatère est un parallélogramme.

En eflel , en menant la diagonale ON , on forme (leux triangles e'gaux entre eux comme ayant les côtés égaux chacun à chacun ( n° 169) : donc l’angle MNO = NOP : donc MN est parallèle à OP (n° 137'. De même l’angle MON = ONP : donc MO et NP sont parallèles.

Donc la figure est un parallélogramme (n° ig4). •

N" 198. Théorème V. Fig. 1 44 •

Si deux côtés opposés, MN, OP, dô un quadrilatère MNOP, sont égaux et parallèles , ce quadrilatère est un parallélogramme.

La diagonale ON détermine deux triangles, MON. ONP, qui sont égaux, comme ayant un angle égal compris entre des côtés égaux chacun à chacun (n° 170) : en effets, MN et OP étant parallèles, les deuç angles MNO et NOP sont égaux (n° i4») ; de plus, MN=OP, et ON est commun. 11 résulte de là que l’angle MON=ONP; d’où il suit que MO et NP sont aussi parallèles (n° 137). — Donc , e te.

Corollaire. — Dans tout parallélogramme, ladroite qui joint les milieux de deux côtés parallèles , est égale et parallèle aux deux autres.

Scolie. — Les deux derniers théorèmes sont réciproques dn précédent et réciproques entre eux. •

N° 199. Théorème VI. Fig. 145.

Les diagonales dun parallélogramme, MNOP, se coupent Fij.i45. mutuellement en deux parties égales j — et réciproquement.

Soit I le point d’intersection des deux diagonales; les deux triangles MIN, PIO, sont égaux comme ayant un côté égal.

' l54 LIV. |; CHAI». V; $ III. —

Fig. 145. MN = OP (n° ii>6), adjacent à des angles égaux chacun à chacun (n° 17a) : donc

M1 = IP, et NI = IO.

Réciproquement : — Si les diagonales d’un quadrilatère se coupent mutuellement en deux parties égales , la figure est un parallélogramme.

En effet : de MI=IP et NI = 10 l’on déduit que les triangles MIN, PIO, sont égaux comme ayant un angle égal [l’angle en I] compris entre des côtés égaux chacun à chacun (n" 170) :

donc • MN = OP; et de même MO = NP.

Scoîie 1". — Les diagonales d’un parallélogramme le décomposent en deux couples de triangles opposés égaux.

Scol. a- — A moins que tous les angles du parallélogramme ne soient des angles droits (n° 195, scol.), ses diagonales sont inégales; la plus grande est opposée à sou angle obtus, et la plus petite à son angje aigu ( n° 1 7 x ).

Scol. 3. — Le point I (Bg. i45) se no mine le centre du parallélogramme.

Ce point jouit de la propriété d’être le milieu de toute droite qui y passe en sc terminant au contour du parallélogramme en deux points. G» K, des côtés opposés, MN , OP ; et «le plus, cette droite GIK. partage alors le parallélogramme en denx quadrilatères égaux. En effet, les triangles IGN , IK.0 , par exemple, ont un côté égal. IN = IO , adjacent h deux angles égaux chacun U chacun; d’où IG= IK. , ce qui démontre la première partie de la proposition. En second lieu , GN= KO et GM = K P , ce qui , vu l'égalité des angles opposés du parallélogramme proposé, rend superposables [directement (n° 43)] les deux quadrilatères GNPK et KOMG.

§ III. — Du Rectangle.

Fig. >46. N? 200. On nomme Rectaxgle, un quadrilatère, MNOP (fig. 146), dont tous les angles sont droits. — Ltv possibilité d’une pareille figure est évidente (n° i4°)> et il résulte de la réciproque du théorème ti (n° ig5) qu’elle n’est qu’une variété