CHAPITRE VI

DES POLYGONES

§ I". — Des Polygones en général.

N° ai4- Nous avons déjà donné (n°* 73 et 74) la définition

des polygones (*) en général, et nous avons traité ( chap . iv), du triangle ou polygone de trois côtés, et ( chap. v) du quadrilatère ou polygone de quatre côtés. Les polygones étant ordinairement classés d’après le nombre de leurs côtés, les deux espèces précédentes se trouvent en être les plus simples. Viennent ensuite :

le pentagone ou polygone de cinq côtés,

Y hexagone six .

V heptagone sept .

V octogone', huit .

Y ennéagone neuf .

le décagone, dix .

Yendécagone onze .

le dodécagone douze.

Au-delà de douze côtés, les polygones ne reçoivent plus de noms particuliers, excepté celui de quinze côtés, que l’on nomme pentédécagone ; les autres se désignent simplement par l’énonciation du nombre de leurs côtés.

N° 21 5. Avant de commencer la théorie générale des polygones, nous avons encore à expliquer diverses dénominations qui y sont relatives.

Ainsi, un polygone [fermé] est dit convexe (fig. 34) lorsqu’il n'existe aucune droite [autre que ses côtés] qui puisse

(*J De v«x»{, multiple ; cl >*?>«> angle.

POLYGONES

avoir avec sou périmètre plus de deux points communs, ou , ce qui revient au même, lorsque aucun de ses côtés, même indéfiniment prolongé, ne peut rencontrer le reste de ce périmètre ; de sorte que la figure se trouve ainsi tout entière dans une des deux régions (n° 1 3) du plan, déterminées par chacun des côtés pris en particulier. — Au contraire, un polygone est dit concave (Gg. 35) lorsqu’il ne présente pas ce caractère. — Tout triangle est nécessairement convexe.

On reconnaît encore les polygones convexes [autres que le triangle] à leurs diagonales qui sont toutes intérieures, tandis qu’il y en a toujours quelqu’une extérieure dans les polygones concaves: telles seraient, par exemple, celles qui, dans la Jigurc 35, lieraient deux à deux les pointa C et £, A et I, etc.

Il résulte nécessairement de là , que

Deux polygones convexes se confondent lorsqu’ils ont les mêmes sommets :

Car s’il én était autrement, quelque côté de l’un des deux polygones serait une diagonale par rapport à l’autre , ce qui implique contradiction avec ce qui vient d’être dit.

N“ 216. On distingue dansun polygone [fermé] deux sortes d’angles, les angles saillans et les angles rentrons. — Un angle est dit saillant, tel que BAL (fig. 35), ou rentrant, tel que CDE, suivant que le triangle détermine par les extrémités [B, A, L, ouC, D, E] des deux côtés qui comprennent cet angle , appartient à rinlérieur ou à l'extérieur du polygone.

C’est pourquoi l’on nomme ordinairement angle extérieur d’un polygone, chacun des deux angles BA/, ÔAL, adjaccns à un angle saillant BAL.

On peut encore, pour mieux caractériser les angles saillans cl les angles rentrant, considérer deux côtés consecutifs d'un polygone, supposés lermi nés h leur point d'intersection, comme formant ainsi denx angles différent, l’un moindre qnc a droits , et l’autre plus grand: [celui-ci serait composé de l'angle opposé an premier cl de ses deux adjacent {voyez le n» tao)]. Cela pose, l'angle du polygone sera saillant ou rentrant, suivant qu'il sera plus petit ou plus grand que a droits ; et au contraire, dans les mêmes circonstances , le second des denx angles sera plus grand ou plus petit que 1 droits.

Fig. 35.

l66 LIV. I ; CBAP. VI ; § 1. —

Un triangle a nécessairement ses trois angles saillans ; et généralement , il est facile de voir que

Un poljgone fermé ne peut avoir moins de trois angles saillans.

Par suite de ce qui précède, on peut dire encore qu'un polygone est convexe s’il n’a que des angles saillans , et qu’il est concave s’il a un ou plusieurs angles rentrans.

[Au reste, nous reviendrons, par la suite, sur celte manière de distinguer la convexité et la concavité' des figures.]

N° ai^. De même que l’on peut, en menant une diagonale, décomposer en deux triangles, un quadrilatère simple [de première ou de seconde espèce (n* igt)] ; de même aussi l’On peut toujours décomposer en triangles unpoljrgone d’un nombre quelconque de côtés. [On suppose que le contour ne se croise pas comme celui du quadrilatère simple de la troisième espèce. ]

Fig. ^7 La décomposition d’un polygone ABCDE ( fig. i5 7, i58, — ,J9' et i5g) en triangles peut toujours se faire de plusieurs manières.

Le moyen le plus simple de l’opérer lorsque ce polygone est Fig 157. convexe, consiste à mener, parl’uu des sommets, A (Cg. t5n), des diagonalesà tous lesautres [excepté les deux sommets, B, E, consécutifs du premier ] : le polygone se trouve alors partagé en autant de triangles, moins deux, qu’il a de côtés, puisqu’en prenant le point A pour sommet commun de tous les triangles, chaque côté du polygone, à l’exception des deux extrêmes AB et AE, sert de base à un triangle.

Au lieu de mener ainsi des diagonales par l’un des sommets , Fig.i58. on peut, par un point M (fig. i58) pris sur un côté AB et entre ses deux extrémités, mener des droites à tous les autres sommets G, D, E. Alors, le polygone se trouve partagé en autant de triangles, moins un, qu’il a de côtés.

'Enfin , l’on peut encore décomposer eu triangles un polygone convexe [et quelquefois même un polygone concave] , en me- Fig. i5g nant, par un point intérieur quelconque, 0 (fig. i5g), des

*— POLYGONES

droites à tous les sommets : le polygone se trouve ainsi partagé Fig. i5g. en autant de triangles qu’il a de côtés. [11 est bien clair, d’ail* leurs, que les deux méthodes précédentes ne sont, au fond ,

que des cas particuliers de cette dernière. ] (

Quant aux polygones concaves (fig. 160), on aperçoit sans Fig. 160. peine, qu’au moyen d'un nombre suffisant de diagonales intérieures menées convenablement par les sommets des angles rentrans , on peut toujours partager ces sortes de polygones en polygones convexes : les polygones concaves sont donc aussi décomposables en triangles.

Deux polygones , ABCDE , A'B’C’D'E' ( fig. 161 ), sont évi- Fig. 161. demment égaux lorsqu’ils sont composés d’un même nombre de triangles égaux chacun à chacun et assemblés de la même manière : car, si l’on fait coïncider deux é deux , comme cela est possible d’après l’hypothèse, les triangles égaux ABC et A'B'C' , ACD et A'C'D' , ADE et A'D'E' , les polygones ABCDE et A'B'C'D'E' par suite, coïncideront aussi. — Réciproquement, deux polygones égaux peuvent toujours se décomposer en un même nombre de triangles égaux chacun à chacun et assemblés de la même manière : car , si l’on commence par faire coïncider les deux polygones égaux , il sera impossible de décomposer l’un saus décomposer l’autre en même temps et de la même manière. — 11 est d’ailleurs évident que deux polygones égaux ont tous leurs côtés et tous leurs angles égaux chacun à chacun , ainsi que leurs diagonales , etc.

Au reste , la décomposition eu triantes n'est pas la seule dent un polygoue est susceptible. Suit, par exemple, ABCDEFGI (fig. 16a) un poly Fig. iGa. gnne, et AE une droite quelconque menée d’un point & un autre de son pc'timètre. Abaissons des sommets B, G, D..., sur AE , les perpendiculaires BA , Ce, D d. . . : par ce moyen , le polygone se trouvera décompose en trapèzes, et en triangles rectangles. — Cette décomposition est souvent employée dans la Géométrie pratique.

N° a 18. Tuéorème F.

La somme des angles intérieurs d’un polygone convexe . est égale à autant de fois 2 droits qu’il y a d’unités dans le nombre des côtés diminué de deux.

l68 LIY. I ; CHAP. VI ; § I. —

En effet , si de l’un des sommets on mène des diagonales ù Fig. i5y. tous les autres ( fig. i5j ) , le polygone se trouvera décomposé en autant de triangles , moins deux , qu’il a de côtés ( n° 2 1 7 ) ; or, la somme des angles du polygone étant égale à la somme des angles de ces triangles , et la somme des angles de chaque triangle étant égale à 2 droits , il s’ensuit que la somme des angles du polygone est égale à autant de fois a droits , qu’il a de côtés moins deux. C. Q. F. D.

Scolie 1". — En prenant l 'angle droit pour unité. (n° loq) , on peut énoncer la même proposition de la manière suivante :

Pour avoir la somme des angles intérieurs d'un polygone convexe, il faut doubler le nombre des côtes et retrancher 4 du résultat; cé qui fait (2 n — 4) [angles droits) pour un polygone de n côtés.

Présenté de cette manière, le théorème peut se démontrer plus directement par la décomposition du polygone en triangles qui auraient un point intérieur pour sommet commun Fig. 159 (n° 217, fig. i5q).

Scol. 1. — Le théorème précédent , ainsi que le scolie i«r( sont egalement applicables au* polygones concaves, en attribuant aux angles rcntrnns, les râleurs pins grandes que deux droits qui leur appartiennenl , comme noua Pavons expliqué plus haut (ne 21b).

Scol. 3. — Pour connaître la valeur de chaque angle d’un polygone équiangle , il faut diviser par le nombre des angles , la somme énoncée dans le théorème. Ainsi, dans le quadrilatère équiangle, chaque angle vaut un droit, ou simplement i; dans le pentagone équiangle, chaque angle vaut | ; dans l’Aexagone équiangle , chaque angle vaut § ; etc. — Pour un polygone

équiangle de n côtés, la formule générale est 2 ("-?)■ ou ^2 — Cette valeur de l’angle Croît avec le nombre des

côtés , puisque le terme soustractif

diminue à mesure que

n augmente.

— POLYGONES

N° 219. Théorème H. Fig. i63.

Dans un polygone convexe quelconque ABCDE, si l’o» l 'g i63. prolonge tous les côtés dans un même sens (*) , la somme des angles extérieurs (n° 216), cAB, «BC, bCD , cDE , c/EA , qui en résultent , est égale à 4 droits. v

En effet, on a cAB -f- BAE = 2,.

«BC -f CBA = a,

ACD 4- DCB = 2,

d où il résulte que la somme de tous les angles du polygone, augmentée de la somme des angles extérieurs, est égale ô autant de fois 2 droits qu il y a de côtés dans le polygone. Ainsi, la somme totale surpasse la somme des angles du polygone , de 4 droits (n° 165, scol. 1"): donc la somme des angles extérieurs est égale à 4 droits.

Sc°LIE* * changeant la lignification attribuée précédemment (n° atG) a la dénomination A' angles extérieurs, on convenait maintenant d’appeler ain.i cen* qu’on obtient en retranchant de 4 droits, chacun de» angles du polygone [que ces dernier» fussent d’ailleurs saillans on rentrai.»] , Je théorème précédent serait remplacé par celui-ci :

. sn,nntt: des angles extérieurs d'un polygone fermé quelconque , est égalé a autant de fois 3 droits que le polygone a de côtés plus deux; r

Ou bien [I angle droit étant pris pour unité ( n° 109)] :

Pour avoir ta somme des angles extérieurs d’un polygone fermé huilât nt^Ue ’ 'lfaUt douUer le nombre des cÔlés,et [ ajouter 4 au ré-

Icrniera énoncés ont, sur celui que nous avons donné en tète du P numéro, I avantage d être applicable» aux polygone» concaves aussi bien qu’aux polygone» convexes.

( ) Cette expressiou, dans le même sent, signifie qoe, si l’on faisait le tour du polygone en suivant, par exemple, l’ordre A, B, C, D.,., il audrait, avant de changer de direction pour passer d’un côté, AB, BC..., au suivant , BC , CD...., prolonger toujours de la même manière, c’cst- >rc toujours en avant [ou même tonjours en arrière ], le côté une •on quitte, ABi», BC* ...