LIV. ! ; CHAP. TI

Théorème III.

Deux poljgones convexes sont égaux 4 lorsqu’ils, ont tous leurs côtés [ pris dans le même ordre ] égaux chacun à chacun , ainsi que leurs angles correspondons, à l’exception de trois [pour chacun ].

On démontre facilement que les deux polygones sont superposables, comme on l’a fait au numéro 169 pour un théorème relatif aux triangles, lequel n’est qu’un cas particulier de celui-ci.

N® 221. Théorème IV.

Deux polygones de n côtés sont égaux lorsqu’ils ont (n — 1 ) côtés consécutifs [pris dans le mcine ordre ] , égaux chacun à chacun , ainsi que les ( n — 2 ) angles compris entre ces côtés.

Démonstration par la superposition , comme celle du théorème aualoguc relatif aux triangles, numéro 170.

N° 322. Théorème V.

Deux polygones de n côtés sont égaux lorsqu’ils ont ( n — 2 ) côtés consécutifs égaux chacun à chacun , ainsi que les angles qu'ils font entre eux et avec les deux autres côtés.

Voyez , de même, le numéro 172.

N® 223. Remarque sur les deux théorèmes précédens. — En général , pour qu’un polygone de n côtes soit déterminé, il faut connaître ( 2/1— 3) des in élérnens distincts [côtés et angles] (■voyez le n° 174) qui le constituent; mais ces ( 2n — 3) élémens ne peuvent être pris arbitrairement , et doivent satisfaire à certaines conditions que l’on ne saurait exposer ici. Nous nous bornerons à faire observer, — 1° que chaque côté du polygone doit être moindre que la somme de tous les autres ; — 2° que , d’après le théorème 1 (n® 218), les n angles ne peuvent cpmp-

• — POLYGONE*. 1 71

ter que pour ( n — 1 ) élémens ; — et 3° que ces Siemens doivent être disposes d’une manière donnée.

Il existe, pour la détermination des polygones, une autre méthode qu’il est utile de connaître. Elle consiste à donner la distance mutuelle de deux sommets, A , B (lig. 34) , et leurs Fig. 34. distances respectives à tous les autres, C, D, E. , . , ainsi que la disposition de ceux-ci. On connaît de cette manière, les trois côtés de chacun des triangles ABC , ABD, ABE..., ce qui suffit pour les déterminer. La construction du polygone dépend alors de la connaissance de 3 de ses côtés et de 2(n — 3) diagonales : en tout (2 n — 3) lignes.

On arriverait au même résultat en décomposant le polygone en triangles par des diagonales menées de l’un des sommets.

On aurait ainsi à considérer ( n — 2) triangles dont le premier exige 3 données et les autres chacun 2, ce qui fait [3+2 ( n — 3)] ou ( 2 n — 3) données, comme précédemment.

Il eu serait de même pour la décomposition du polygone en triangles qui auraient leur sommet commun , soit sur l’un des côtés, soit en un point intérieur : dans ce dernier cas par exemple , il y a n triangles; le premier exige 3 données, les (n — 2) suivans chacun 2, et le dernier 11’en exige aucune: cela fait eu tout [3-f-2 (n — 2)] ou (2 n — 1 ) données, au nombre desquelles se trouvent comprises deux distances nécessaires à la détermination du point intérieur qui est étranger à l’objet principal de la question ; en retranchant ces deux données, on a encore pour résultat (an — 3).

N° 224. Théorème VI. Fig. 160.

Lorsqu'une portion de plan est recouverte par un assemblage île po- Fig. :6a. lygones quelconques [comcjei on concaves] , le nombre des polygones [P] plus le nombre des sommets [Si] forment une somme égale au nombre des cités [C] augmenté d’sstt : c’est h dire qnc l’on a toujours

il est d'altord évident que cette formule est vraie quand P — 1 1 c'est-àdire quand il n’y a qn’un polygone.

F.nauitc si, au premier polygone on eu réunit un second, P deviendra cg.d à a; (. représentera le nombre total tics côtés des deux polygoucs ,