I 72 LIV. I ; CHAP. VI ; § I

-diminué du nombre des eûtes communs, ci de même S représentera le nom' bre total des sommets des deux polygones, diminue' du nombre des sommets communs. Or, l'augmentation de C sera plus grande d'une unité , que l'angincn talion de S, puisque le nombre des sommets communs surpasse nécessairement d’une unité le nombre des cotes communs. Donc la formulée»! encore vraie pour 3 polygones.

On 'prouverait de même que la formule est vraie pour 3 polygones, pour , etc. — Ainsi elle est vraie généralement.

[P'oycz , sur ce sujet, un Mémoire de M. Caücot dans le 16e cahier du Journal de l’Ecole Polytechnique , tome ix , page 77.]

K° ax5. Remarque sur la convexité des polygones. — Après avoir (ixé (u°' 3(5 et 316) les conditions de la convexité des polygones , nous avons examine dans ce chapitre, les principales propriété'* des polygones pour lesquels ces conditions se trouvent remplies. Mais 6n peut donner plus d'extension et de généralité' à la première définition que nous avons adoptée dans tout ou qui précède.

Pour cela, rappelons d’abord que toute droite indéfinie partage un plan qui la contient en deux moitiés superposables que nous avons nommées régions (n° i3). Cela posé, admettons que l'on prolonge indéfiniment, Fig. iG} dans les dcox sens, l'un des cAtés AB (fig. 16 j et i65) d'un polygone et iGj. quclCünque ; il arrivera de cts deux choses l'une : ou bien les denx eûtes AM , BN, consécutifs du côté AB, seront situés, par rapport & ce dernier, dans la même région du plan (fig iGj), ou bien ils se liouvcronl, l'un dans une des deux régions, et l'autre dans la seconde (fig. i65). Or, il résulte toujours de la même définition, que le polygone est convexe quand le premier cas a lieu pour tous les eûtes [sans en excepter un seul)» supposes prolongés indéfiniment , et au contraire que le polygone est concave lorsque quelqu'un de scs eûtes se trouve dans le second cas.

Maintenant, en considérant les polygones, non pins comme des portions de plans (n° 7 f\) , mais comme de» lignes brisées (n° 73), il arrive que le caractère assigné ci-dessus aux polygones convexes, peut appartenir!» des polygones dont les cùlé* s’en tre-c roi se raient en un ou en plusieurs points, comme Fig. 1G6. dans la Jigure tGG. C'est pourquoi M. Poinsot ( Journal de l’École Polytechnique , io« cahier, tome iv, page 16 et suiv.) regarde ces sortes de lignes comme des polygones convexes d’un ordre supérieur, ceux que nous avons considérés jusqu'à piésent étant alors des polygones convexes du premier ordre. — On voit que dans ce genre de figure , une ligne droite peut rencontrer le système des divers eûtes en plus de deux points, ou bien qu'un cûté prolonge* peut rencontrer le reste du contour, circonstances qui ne sauraient avoir lieu dans les polygones convexes du premier ordre.

1! est facile de voir d'ailleurs que ce qui précède s'applique aux polygone» ouvrit* aussi bien qu'aux polygones fermés.

F0LYG. RÉGULIERS.

§11. — Des Poljgones réguliers.

N° 226. Nous avons vu (n° ^5) que l’on nomme polygone régulier, tout polygone qui est en meme temps équilatéral et équiangle. Dans le triangle, ces deux conditions ne peuvent pas être remplies l’une sans l’autre : on est donc sûr qu’un triangle est régulier, dès que l’on sait, ou qu’il est équilatéral, ou qu’il est équiangle (n° 164 , scol. 2). Mais il n’en est pas de même quand le polygone a plus de trois côtés : ainsi , le losange proprement dit ( n° 202) est équilatéral sans être équiangle, et le rectangle en général (n° 200) est équiangle sans être équilatéral ; le carré (n° 4o\) seul, parmi les quadrilatères, satisfait aux deux conditions à la fois.

Outre le triangle régulier et le quadrilatère régulier, que nous connaissons déjà , nous obtiendrions encore l’hexagone régulier en réunissant, autour d’un même point O (fig. 167)', fig. ,6-. six triangles réguliers , puisque l’angle de cette dernière figure vaut J- (n° 1 64) ou le sixième de quatre angles droits.

On nomme ligne polygonale régulière , un polygone ouvert, équilatéral et équiangle à la fois (n°* 73, 74, et 75).

Il faut observer qu’une ligne brisée régulière peut bien n’être pas susceptible de faire partie d’un polygone régulier fermé.

Un polygone régulier ne pouvant avoir d’angles rentrans, est nécessairement convexe.

N* 227. Lf.mmf.. Fig. 167.

Il existe des polygones réguliers d’un nombre quelconque de côtés [plus grand que deux].

En eflet , concevons , tout autour d’un même point O , un nombre quelconque d’angles égaux entre eux et sous-multiples de 4 droits [hypothèse qui est toujours admissible]. Puis prenons , sur leurs côtés , des distances OA , OB , OC , . égales entre elles ; et meuons AB, BC, CD. . . — Tous les triangles ainsi formés seront isocèles, et de plus égaux entre eux comme ayant un angle égal compris entre des côtés égaux