I 74 LIV. I ; CHAP. VI ; § II

Fig.167. (n° 170). L’ensemble de tous ces triangles formera donc un polygone, ABCDEF, qui aura, d’abord tousses côtés égaux, et ensuite tous ses angles égaux comme composés de' parties égales, et qui , par conséquent, sera régulier.

Scolie. — Le lemme précédent peut encore être énonce’ comme il suit :

On peut composer un polygone régulier d’un nombre quelconque de côtés, par l'assemblage de triangles isocèles égaux entre eux et ayant un sommet commun.

Alors, ce lemme a pour réciproque le théorème suivant :

N° 228. Théorème VII. Fig. 167.

Tout polygone régulier ABCDEF est décomposai le en autant de triangles isocèles égaux entre eux qu’il a de côtés ; — [De plus , ces triangles ont pour sommet commun un point qui est également distant, d’une part de tous les sommets du polygone, et d’autre part de tous ses côtés. ]

En effet, menons des droites qui partagent respectivement

en deux parties égales les angles A, 15 , C , D du polygone ;

nous obtenons ainsi une série de triangles qui ont respectivement pour bases les côtés AB, BC, CD... ; or, i° tous ces triangles sont isocèles, puisque les angles A , B, C.’. . . étant égaux , leurs moitiés sont aussi égales ; et 20 les memes triangles sont égaux entre eux puisqu’ils ont un côté égal ainsi que les angles adjacens à ce côté.

Comme d’ailleurs ces triangles sont contigus deux à deux , il s’ensuit nécessairement qu’ils ont leurs sommets en uu même point 0 intérieur au polygone : ce qui prouve d’abord que le polygone est l’ensemble de tous les triangles. Et ensuite, ce point est, d’une part, également distant des sommets de ce polygone, et d’autre part, également distant de ses côtés.

Scolie Ier. — Le point O s’appelle le centre du polygone régulier. — Quand le nombre des côtés est pair , il est facile de