POLYGONES RÉGULIERS

Scolie 1" sur ces deux théorèmes. — Les réciproques ne sont pas vraies, c’est-à-dire que tout polygone inscriptible ou circonscriptible n’est pas pour cela un polygone régulier : tel est, par exemple , le cas du triangle en général ( n°* 166 et 167 ).

Scol. 2. — Les droites OA, OM, OB, ON, OC. . . . , qui par- F*g* l68tagent le polygone en triangles égaux , partagent le cercle inscrit et le cercle circonscrit en secteurs respectivement égaux.

Scol. 3. — Le rayon du cercle circonscrit n’est autre que celui du polygone ; le rayon du cercle inscrit se confond avec l’apothème ; et enfin le centre du polygone est aussi le centre commun des deux cercles. — Pour obtenir ce centre , il suffit de faire passer des perpendiculaires par les milieux de deux côtés [non opposés] du polygone, ou de tracer les bissectrices de deux de ses angles , ou , etc.

N® 25 1. Théorème X. Fig. 169.

Si une circonférence ABCD... est partagée en parties ^ ig. 169. égales, et que, par les points de division consécutifs,

A, B,C, D..., on mène des cordes, le polygone inscrit formé par ces cordes, sera régulier.

En effet : d’abord, les côtés du polygone seront égaux, comme sous-tendant des arcs égaux ; ensuite ses angles seront égaux, comme moitiés d’angles [au centre] égaux (n° i5i) : donc ce polygone sera régulier (n® 75).

N° 25a. Théorème XI. Fig. 169.

Si une circonférence ABCD .... est partagée en parties égales, et que , par les points de division consécutifs,

A, B, C, D .., on mène des tangentes , le polygone circonscrit MNPQ. . . formé par ces tangentes , sera régulier.

En effet , d’une part, les angles M, N, P. . . . seront égaux comme circonscrits à des arcs égaux (n° i52, coroll.)-, et, d’autre part, les côtés MN, NP, PQ. . ., seront aussi égaux comme doubles des tangentes égales AM, MB, BN , NC,

CP, PD. . . Donc le polygone MNPQ. . . sera régulier.