LIV. I; CHAP. VI; § II

Scolie. — La construction des polygones réguliers se ramène à la division de la circonférence en parties égales.

N° a33. Remarque sur les polygones étoilés. — Au lieu de joindre par des cordes, les points de division consécutifs , comme on l’a fait dans le théorème x (n° 23 1) [il y a une observation semblable pour le théorème xi (n° 232)] , on peut ne joindre ces points que de deux en deux , de trois en trois, etc... On obtient ainsi des polygones réguliers du second ordre, du troisième ordre. . . (voyez le n° aa5) , que l’on comprend sous la dénomination générale de polygones étoilés.

Fig. 170 Les figures 170 à 178 offrent les exemples les plus simples —,78’ de ces sortes de polygones.

Fig. 170. Ainsi la figure 170 représente le pentagone du second ordre.

— C’est le plus simple des polygones étoilés, et il n’y a point d’autre pentagone possible après celui du premier ordre.

Fig. 171. La figure 17 1 représente l’hexagone du second ordre, si l'on

peut appeler ainsi une ligne discontinue qui n’est autre chose qu’un système de deux triangles équilatéraux entrelacés. — C’est du reste le seul hexagone possible après celui du premier ordre.

Fig. 17a Les figures 172, 173, représentent les heptagones du second

et 1 et du troisième ordre. — Ce sont les seuls heptagones étoilés possibles.

Fig. 174 Enfin, les figures 174, 175, représentent les octogones du ct,,5‘ second ot du troisième ordre, les seuls possibles, et dont le premier n’est autre chose qu’un système de deux carrés.

Il cit bon d'observer que l’on obtient les polygones réguliers du second ordre en prolongeant les côtés de ceux du premier, puis les polygones du’ troisième ordre en prolongeant les côtés de ceux du second.... jet ainsi de snite {vojret le dfémoire de M. Poiksot, déjlt cité an n° aa5).

Fig. 176 Nous ferons observer encore, que l’on pcot, A la rigueur, considérer certains — '7®. systèmes de deux (Gg. 176), de trois (fig. 177), de quatre (fig. 138). . . dia~ mitres, comme représentant respectivement , te quadrilatère du second ordre, l'hexagone! du troisiime, l 'octogone du quatrième, etc. — On pourrait même, sous ce point de vue, considérer un diamètre unique comme un polygone de deux côtés qni se confondent.

PROBL. SUR LES POLÏG.

g III. — Problèmes sur les Polygones, et en particulier sur les Polygones Réguliers.

N0 334. Problème I".

Construire un polygone égal à un polygone donné.

Pour résoudre cette question , on décomposer^Je polygone donné en triangles , ou bien en trapèzes et en triangles (n° 2 1 7) ; ou bien encore , on fixera la position des sommets au moyen de diagonales menées des extrémités d’un côté à tous les autres sommets (n° 223). — Cela fait, la question se réduit à quelqu’un des problèmes des numéros i83 — 186, ou 212.

Ou peut encore opérer en menant , par les sommets du Fig. 17g. polygone donné ABCDE (fig. 179), des droites parallèles et égales entre elles, AA’, BB', CC7, DD', EE' : les extrémités A', B', C', D', E', seront les sommets d’un polygone égal au polygone donné.

On aurait un polygone symétrique du polygone donné , si , au lieu de mener des parallèles égales, AA', B B7, CC'. . ., on abaissait des perpendiculaires A a, B b, Ce... (fig. 48), sur Fig. 48. une droite quelconque MN menée dans le plan du polygone donné, et que l’on prît sur ces perpendiculaires, de l’autre côté de la droiteMN, des distances aA'=Aa, 6B'=B b, eC'=Ce, etc.

N° a35. Problème II. Fig. 169 et 180.

Étant donné un polygone régulier ABCDEF inscrit à uncercle, Fig. itjg circonscrire un polygone régulier du même nombre de côtés. 11 18°-

in Construction. — On mène des tangentes (n° io5) par les sommets A, B, C,... (fig. 169) du polygone donné ; etFig.iGg l’on obtient ainsi le polygone demandé MNPQRS.

2' Constr. — On prolonge tous les apothèmes jusqu’à leur rencontre avec la circonférence, en T, U, V,X, Y, Z (fig. 180) ; Fig. 180 puis, par ces derniers points, on mène des tangentes.

Scolie. — Dans ces deux constructions (fig.*i6get 180), lesFig.iSg points M, N, P.... se trouvent respectivement sur les proion- et ,8 ,‘ gemens des droites OA , OB, OC. ... ; et de plus, dans la se-