L1V. I; CHAP. VI; 5 III

Fig- 180. coude , les côtés du polygone cherché sont parallèles , chacun à chacun , aux côtés correspondans du polygone donné , dont ils sont tous également distans.

N° 336. Problème III. Fig. 169 et 180.

Fig- 1^9 Étant donné un polygone régulier MNPQRS circonscrit à et l8°- un cercle, %iscrire un polygone régulier du même nombre de côtés.

Fig.iGg. 1” Construction (fig. 169).— En menant desdroitesAB, BC, CD. ... , entre les points de tangence consécutifs , on formera le polygone demandé ABCDEF (n° 23 1).

Fig. 180. 2« Constr. (fig. 180). — Par les points A, B, C...., où

les rayons OM, ON, OP...., coupent la circonférence , on mènera les droites AB, BC, CD. . . .

Scolie . — Comme ci-dessus (n° 235, scol.).

N° 337. Problème IV.

Étant donné un polygone régulier inscrit ou circonscrit à un cercle , inscrire ou circonscrire un polygone régulier d’un nombre de côtés double ou sous-double.

Pour avoir un polygone régulier d’un nombre de côtés double , on partage en deux parties égales chacun des arcs compris entre les points de division consécutifs (n° 1 3 1 , scolie, i°); et par les nouveaux points de division conjointement avec les anciens , on mène des cordes (n° 23 1 ) ou des tangentes (n° 23a) .

Pour avoir un polygone régulier d’un nombre de côtés sousdouble , on prend les points tde division seulement de deux en deux. — [Il faut alors évidemment, que le polygone donné soit d’un nombre pair de côtés.]

N° a38. Problème V,

Recouvrir [s’il est possible] une portion de surface plane avec des polygones réguliers égaux [ assemblés trois à trois , quatre à quatre, .... autour d’un sommet cominuu ].

Pour pouvoir satisfaire à la condition énoncée, l’angle du po-

PRODL. SUR LU POLYC.

■Si

lygone que l’on voudra employer, doit être contenu dans 4 droits un nombre de fois entier et au moins égal à 3: car il est necessaire de réunir au moins trois angles saillans autour d’un même sommet. — Cela posé :

L'angle du triangle régulier vaut |, nombre qui est con- Fig. 181 . tenu 6 fois exactement dans 4 : donc la question sera résolue en assemblant des triangles équilatéraux six à six ( fig. 181).

La question est évidemment résoluble avec des carrés as- Fig. 181. semblés quatre à quatre (fig. 182).

Elle ne l’est pas avec des pentagones , parce que leur angle, qui vaut S, n’est pas un sous-multiple de 4 droits.

On trouve de même que l’on peut assembler des hexagones Fig- >83. réguliers trois à trois (fig. i83) , parce que leur angle vaut § ou 3, nombre contenu 3 fois exactement dans 4-

Au-delà de l’bexagone régulier, il n’y a plus de solution possible, parce que l’angle du polygone surpassant le tiers de 4 droits , n’y serait plus contenu 3 fois au moins.

Sentie l«r. — Les trois sortes du polygones régalien qui résolvent le problème précédent , jouissent en outre de la propriété suivante.

i« Si an plan est recouvert <1 e triangles réguliers égaux (lig. 181), et que Fig. 1 8 ■ . l'on joigne deux b deux , par des droites , les centres des triangles contigus , on forme ainsi des hexagones réguliers égaux qui recouvrent également le plan.

x* Réciproquement , si un plan est recouvert A' hexagones réguliers égaux (lig. |83), et que l'on joigne deux h deux, par des droites, les centres des Fig. >83. hexagones contigns, on forme ainsi des triangles réguliers égaux qui recouvrent également le plan.

3° Enfin , en effectuant la même construction sur des carres réunis Eig. >8a quatre .3 quatre autour d'un même point (fig. t8a), on produit d’antres carrés égaux aux premiers et réunis du la même manière

En raisun de ces propriétés, le triangle régulier et l’hexagone régulier sont dits des polygones réguliers réciproques ou conjugués l’un de l'autre.

— Le carré est réciproque du carré.

Seal. 3. — On peut a tissi recouvrir un plan avec des mélanges de diverses sortes de polygones réguliers : par exemple avec des octogones et des carres Eig. >8j (fig. 184), des hexagones et des triangles (fig. l85), des triangles et des dodécagones (fig. >861, etc. — On peut aussi combiner des triangles deux .3 deux pour en composer des losanges (fig. 187), des carrés deux il deux pour en composer des rectangles (fig. 188) — Etc. , etc.