DES COURBES

§ I". — Généralisation de plusieurs Définitions. — Des Élémens des Courbes.— De la Convexité. >

N° 23g. On nomme Arc d une courbe, eu général, toute portion continue de cette courbe (voyez le n° 19) , et Corde d’un arc , la droite limitée qui joint les extrémités de cet arc.

A l’dgard de la Flèche , comme tout arc d’uue courbe quelconque n’est pas susceptible de se partager en deux moitiés superposables , on nomme ainsi , le segment de la perpendiculaire élevée sur le milieu d’une corde , compris entre cette corde et l'arc.

La Sécante, dans les courbes en général, n’est plus une corde prolongée {voyez le n° 21) : la sécante est une droite qui coupe la courbe en on point ou en un nombre quelconque de points ; et pour qu’il y ait réellement intersection, il faut que le point commun partage la courbe en deux portions qui soient dirigées, par rapport à la droite, chacune vers une région différente du plan ( n° i3); ou, en d’autres termes, l’une des portions de la courbe doit être dirigée d'un côté de la droite ,' et l’autre portion de l’autre côte.

Quant à la Tangente , c’est toujours la limite dune sécante dont deux points d intersection avec la courbe se sont réunis en un seul. — Il résulte de cette définition, que 1 epoint de tangence peut être en même temps un point d intersection , ou, en d’autres termes, qu’une droite peut toucher et couper la courbe en incme temps et au même point, ou enfin, que la droite et la courbe peuvent être, à la fois et au même point, tangentes et sécantes. — Une tangente prolongée peut aussi couper la courbe ailleurs qu’au point de tangence.

DES COURBES ES GÉNÉRAL. l83

Enfui , L’on nomme encore Normale à une courbe, la pcrjten diculaire menée à la tangente par le point de tangence. — Ainsi, par exemple , .

Dans le cercle, tout rayon est normal à la courbe ;

Et réciproquement : — Toute normale au cercle passe par le centre ( n° 89 , récipr. 3 ) .

Au reste, tout ce que nous venons de dire sera mieux compris quand nous aurons donné quelques développemens sur la nature des courbes en général.

N° 240. Pour cela, soit un polygone quelconque, que nous regarderons comme une ligne brisée (n# ^3) , en ne considérant que son contour et faisant abstraction de la portion de plan qu’il circonscrit s’il est fermé. Pour mieux fixer les idées, prenons un carré ( fig. 18g ) ; puis , après avoir , par la pensée , Fig. 189. partagé en deux parties égales chacun des côtés de ce carré , disposons-les en octogone régulier (fig. 190). Partageons deFig.igo. même les côtés de cet octogone , et formons-en un polygone régulier de seize cotés (fig. 191) ; et ainsi de suite en dou- Fig. 191. blant continuellement le nombre des côtés, dont la longueur devient , à chaque fois , moindre de moitié! Il est clair que , par celte suite indéfinie de subdivisions , les côtés des divers polygones obtenus , finiront par devenir inappréciables ; et alors, les apothèmes et les rayons ne différant plus sensiblement , ni de longueur, ni de direction , le polygone lui-même aura pris sensiblement la forme d’une circonférence de cercle.

Au lieu de former une suite de polygones isopérimètres , on peut prendre d’abord un carré inscrit dans un cercle (fig. 192) ; Fig. iga. puis, en partageant en deux parties égales chacun des arcs sous-tendus, considérer l’octpgone régulier qui aurait pour sommets, les nouveaux points de subdivision de la circonférence conjointement avec les anciens ; et ainsi de suite. On arrive de cette manière à un polygone inscrit qui ne se distingue plus sensiblement du cercle circonscrit.

Enfin, l’on peut partir encore du carré circonscrit (fig. 193), Fig. 193 puis le remplacer par l’octogone également circonscrit, et continuer indéfiniment de la même manière.

1 84 LIV. I; CHAP. vil; $ |.

On arrive, ainsi à cette conséquence, qu’une circonférence de cercle peut être considérée , soit comme la limite (*) d’une série de polygones réguliers isopérimètres , soit comme la limite d’une série de polygones réguliers inscrits, soit enfin comme la limite d’une série de polygones réguliers circonscrits, les côtés de ces polygones diminuant indéfiniment de longueur dans les trois cas, tandis que leur nombre augmente indéfiniment. — C'est ce que l’on exprime en disant que

Le cercle est un polygone régulier d’un nombre injini de côtés infiniment petits.

Et par suite , — La circonférence de cercle est une ligne convexe (voyez les n°‘ 87 et 226).

Toutes les courbes, sans exception , pouvant évidemment offrir des résultats analogues , il s’ensuit qu'une courbe quelconque peut être assimilée à une ligne brisée , ce qui permet d’admettre que — Toute ligne courbe est composée d’une infinité de portions de lignes droites infiniment petites. — Ces petites portions de ligne droite, ou ces côtés infiniment petits de la ligne courbe , se nomment les Élémens de la courbe.

N° 241. Dans cette manière de voir, la tangente n'est autre chose que la direction (n° 8), ou le prolongement indéfini dans les deux sens , d’un élément de la courbe ; mais il est clair que cette nouvelle manière de considérer la tangente, rentre au fond [dans la définition que nous eu avons donnée précédemment ( n° 21).

Maintenant , de même qu’un polygone est convexe (n“ -225) lorsqu’aucun de ses côtés , indéfiniment prolongé , ne peut rencontrer le reste du contour, ou lorsqu’une droite ne peut couper ce contour en plus de deux points, de même aussi une

{*) Observez quejee mol limites déjà c'te employé plusieurs fois ( n°* I, ai, , ao5), dans des acceptions differentes en apparente, mais qui peuvent se résumer toutes dans la définition suivante : — On entend par limite , en Géométrie, une figure ou une étendue dont s’approchent miittiuinienl de* figure* ou des étendues comptises dans une même série.

ÉLÉMEMS DES COURBES.

courbe est convexe lorsqu’elle uc peut être coupée par aucune de ses tangentes , ou lorsqu’une sécante ne peut la rencontrer en plus de deux points ; et elle est concave dans le cas contraire. Au reste , comme cetle définition ne suppose pas que la courbe soit fermée , on conçoit qu’il est toujours possible départager une courbe quelconque , en portions dont chacune , prise séparément, soit convexe dans toute son étendue.

On voit par là , qu’une courbe doit être à la fois convexe et fermée comme le cercle, pour que sa tangente puisse être définie ainsi : une droite qui n'a de commun avec la courbe, qu’un seul élément, ou un seul point comme on le dit vulgairement en raison de ce que l’élément, étant infiniment petit (n° 240), n’est qu’un point pour les yeux.

Toute courbe convexe ou portion convexe de courbe étant située en entier du même côté de la tangente, il en résulte que, réciproquement, la tangente est située en entier du même côté de la courbe [en employant ici le mot côté dans le sens qu’on lui a déjà attribué au numéro 239]. Or, le côté de la courbe dans lequel est située la tangente , se nomme le côté convexe, ou le côté de la convexité ; et le côté opposé est dit le côté concave , ou fie côté vers lequel la courbe tourne sa concavité.

N° 24?.. La considération des élémens est de la plus grande importance dans la théorie des courbes : car, en conduisant à regarder ces sortes de lignes comme de véritables polygones , elle fait voir que Toute propriété générale qui se trouve démontrée pour une ligne brisée, indépendamment du nombre, de la grandeur, et des inclinaisons mutuelles de ses côtés, appartient , par cela même , à sa courbe limite.

Afin de rendre plus seusible l’exactitude de ce principe et la rigueur des conséquences que l’on peut en déduire , nous allons l’appliquer à la démonstration d’une propriété générale des courbes convexes; puis nous montrerons ensuite que l’on peut parvenir aux mêmes conclusions sans avoir recours au partage de la courbe en élémens.

L1V. I ; CtUP. VII ; § 1. —

N° 243. Théorème. Fig. 194 et *95.

I 'K- *0 1 Une ligne convexe fermée ABCDA, [ brisée , courbe , c,l^‘ ou mixte] , est moindre qu’une ligne quelconque PQRSTP [convexe ou concave] qui V envelopperait de toutes parts.

Fig. 19$. Pour démontrer cette proposition , supposons d’abord que la ligne enveloppée soit un polygone ( fig. 194 ) ; et prolongeons tous ses côtés , AB , BC , CD, DA, dans un même sens (n°2ig, note ) [ comme l’indique la figure] , jusqu’à la rencontre de la ligne enveloppante, respectivement en a, b, c , d.— Nous aurons cette suite d’inégalités :

AB -4- Ba < kd + dP -f PQ 4- Qa,

BC + Cb < Ba + aR 4- Rô,

CD -f- De <( Cô -f- 6S + Sc,

DA 4- kd < De + cT -f T d.

Or, si l’on ajoute toutes ces inégalités membre à membre, et que , dans le résultat , on supprime les parties communes aux deux membres, A d, Ba, Cb , De, en observant d’ailleurs, que

Qa-f-«R = QR,

Rô + ôS = RS,

Sc -f- cT == ST ,

Td + dP = TP,

il en résultera

AB+BC + CD + DA <PQ+QR + RS+ST + TP, ou simplement ABCDA PQRSTP .

Fig. 195. En second lieu , si la ligne enveloppée est une ligne courbe [ou mixte] ABCD (fig. 195), les côtés du polygone ABCD (fig. 194 ) se trouveront remplacés [en totalité ou en partie] par les élémens de la courbe ; et, en supposant tous ces élémens prolongés dans un même sens suivant leurs tangentes respectives, la démonstration précédente sera applicable â la nouvelle hypothèse. Donc la proposition est vraiodans tous les cas possibles où la ligne enveloppée est convexe.