LIGNES ENVELOPPÉES

Faisons voir maintenant que l’on peut parvenir aux mêmes conséquences sans avoir besoin d’assimiler la ligne courbe à une ligne brisée.

Pour cela , supposons que la plus courte de toutes les lignes qui peuvent enceindre la portion de plan limitée parla courbe ABCD [portion que nous avons ombrée dans la figure], diffère pi g. 195. de cette courbe, et que la ligne PQRST, par exemple, soit réellement la ligne enveloppante la plus courte. Cela posé, par un point quelconque A pris sur la courbe ABCD , menons une tangente MN; elle ne rencontrera ABCD en aucun autre point (n° 241), et coupera PQRST en deux points, M et N , de manière que l’on aura MN <MPQN; et ainsi, il en résultera MNRSTM<[PQRSTP. Il est donc impossible que la ligne PQRST soit la plus courte de toutes celles qui entourent la portion de plan ABCD. Or, comme le même raisonnement est applicable à toutes les lignes qui enveloppent la portion de plan ABCD et qui diffèrent de la courbe ABCD, il en résulte que celle-ci est la plus courte de toutes : donc , etc.

Scolie Ier. — Il est évident que la proposition précédente est Fig. igC. appl icable au cas (fig. 1 96) où la ligne enveloppée ABCD et la ligne enveloppante ABCE on tune partie commune ABC, ou des points communs , pourvu que la partie enveloppée ADC soit convexe et tourne sa convexité vers la ligne enveloppante (n° 24 1 )•

On peut aussi supprimer la partie commune ABC , et l’on a alors : AEC > ADC, résultat dont le corollaire du lemme démontré au numéro 80, n’est qu’un cas particulier.

Scol. 2. — La meme proposition a lieu , en particulier , pour une circonférence et un polygone inscrit ou circonscrit quelconque ( fig. 168 et 169) ; de sorte que

La circonférence est plus grande que tout polygone inscrit fig- 168

, ... et ibo.

et plus petite que tout polygone circonscrit.

[Il est clair d’ailleurs que la différence est d’autant moindre que le polygone se rapproche plus de la circonférence , ou que le nombre de scs côtés est plus multiplié.]

De meme — Une ligne brisée régulière inscrite à un arc terminé aux mêmes extrémités , est plus courte que lui.

l88 LIV. I; CHAI». VII; $ II.

§ II. — Autres propriétés des Courbes. — Du Cercle Oscu— lateur. — Des Points Singuliers, etc. — De la Continuité.

Pi° 3^4- Bien que ce qui précédé contienne tontes les notions essentielles h posséder relativement aux conrbes , surtout pour ce qui appartient il la Géométrie Élémentaire proprement dite (no 18), cependant, non» croyons devoir exposer encore quelqnes-nnes de leurs propriétés générales les plus intéressantes, et qui ne supposent d’ailleurs pour être comprises, que la connaissance des théories déjà étudiées.

l'ig- '97- Pour cela , «oit d’abord une conrbe AB (fig. 197). Par un de scs points M , on peut toujours mener une infinité' de cercles ayant en ce point, pour tangente commune, la tangente même, ST, de la courbe $ d’oîi il resuite que ces cercles «ont eux-mêmes tangens à cette dernière, puisqu’ils ont avec elle un élément commun. Mais, il est bien clair que,, parmi ces cercles, il en est un qui se rapproche plus de la courbe, dans les environs du point de contact M, que tous les autres cercles , c’est-k-dirc qui tend plus que tous les autres, dans l'étendue d'un petit arc pris de part et d’autre de ce point, h confondre sensiblement avec clic : or, ce cercle unique se nomme le Cercle Oscolateür de la courbe , an point M ; et la considération des élérneos va nous fournir le moyen d’en donner une définition plus piécise et tout-à-fait géométrique.

A cet effet, rappelons qu'il faut trois points pour déterminer nne circonférence de cercle (n* 166, coroll. a); d’oii il résulte qu’on peut toujours faire passer une circonférence par trois points donnés [non en ligne droite], et que par conséquent , la circonférence qui approchera plus que toutes les autres de la courbe, dans les environs du point M, sera celle qui aura avec cette courbe, de part et d'autre et infiniment près de ce point, deux autres points communs : c'est-k-dire enfin , qui aura avec la courbe deux élémens consécutifs communs, l'un d’un côté du point M, l’autre de l’autre.

Fig. 198. Cela posé, la construction du cercle oscillateur d’une courbe donnée AB (fig. 198), en un point M , se réduit h ce qui snit : — En supposant la courbe décomposée en élémens, soient LM, MN, les deux élémens consécutifs qui doivent appartenir an cercle cherché; par les milieux, e, f , do ce* élémens, élevons des perpendiculaires : clics sc rencontrent (n° i43) en un point O : ce point est le centre du cercle otculateur , dont les rayons sont les droites OL, OM, ON, ou bien Oe, O f, qui n'en differçat pas sensiblement.

N° a45. Le cercle osculateur, dont nous venons de donner la construction générale , jouit de plusieurs propriétés aussi importantes que curieuses : nous allons examiner les principales.

Prolongeons d'abord les élémens LM , MN (fig. 198); il en résultera deux tangentes consécutives LT, MU, faisant entre elles un angle infiniment petit TMU que l’on nomme l 'angle de contingence. Or, il est visible que plus cet angle est considérable, plus la courbe s'écarte , au point M, de

— CERCLE OSCULATEUR. 189

sa tangente LM, et par conséquent plut elle est courbe. L’angle de contingence est donc propre h drainer ce qne l’on nomme la courbure d’une courbe en un point donne ; c’est pourquoi on le nomme encore : angle de courbure .

De pins , l’angle TMU étant évidemment égal h l’angle eOf, puisqu'ils ont pour supplément commun l’angle LMN (n# 193, coroll .), on tire de là un second moyen également propre 5 apprécier le degré de cour* bure d’une coorbc donnée, moyen qui offre même plus de commodité que le premier, en ramenant cette évaluation à celle de la courbure du cercle osculateur, laquelle est d’autant plus considérable [en un point donné de la courbe] que le rayon du cercle est moindre, ce rayon diminuant évidemment à mesure que l’angle «le contingence augmente et vice vend .

De là vient que le cercle oscnlatcur reçoit encore le nom de cercle de courbure y son centre O , celui de centre de courbure , et enfin son rayon , celui de rayon de courbure •

Maintenant, supposons que l’on effectue, pour tous lespointsde big.ipp. la courbe AB (fig. 199), la construction que nous avons indiquée ri-dessns (n° a45) pour le point M. Il en résultera une autre courbe PQ,qui sera le lieu géométrique des centres de courbure de la courbe AB. De sorte que si, de chacun [01 des points de la courbe PQ, ou décrivait, avec le rayon de courbure correspondant [Oe], un petit arc de cercle [eM /], la courbe entière AB pourrait être considérée comme composée de tons ces arcs élémentaires. Or, cette description peut s’exécuter fort simplement par un moyen tout*à-fait mécanique , c’est-à-dire par un mouvement continu .

En effet, admettons que l’on ait tendu le long «le la courbe PQ, supposée solidey un fil flexible et inextensible qui s’appuie exactement sur toute l’étendue de son contour, et qui le dépasse seulement , au point P, d’une longueur PA égale au rayon de courbure de la conrbc AB, au point A. II est évident que, dans cette hypothèse , si l’on détache successivement les divers élémens du fil PQ [en commençant au point P] des élémens qn’ils recouvraient respectivement sur la courbe solide PQ, le fil entier restant toujours également tendu , sou extrémité A décrira successivement les divers élémens de la courbe AB.

La courbe PQ est dite, en raison de cette propriété, la développée «le la coorbe AB; et réciproquement, la conrbc AB est la développante de la courbe PQ. La développée d’un cercle se réduit à un point unique qui est son centre; cl la développée d’une coorbe quelconque est, par rapport à cette courbe, ce qu’est le centre par rapport au cercle. La développée est, en quelque sorte, un centre mobile correspondant à un rayon variable qui est celui du cercle osculateur; et la développante peut être considérée comme décrite d’une manière analogue à la description du cercle , ait moyen de ce centre et de ce rayon qui changeraient ainsi en même temps.

De meme qu’un cercle n’a qu’un seul centre, mais qu’un même point peut être le centre de cercles divers : de même aussi une développante n'a qu’une seule développée , tandis qu’une même développée peut produire une

,go MV. I ; CHAP. VII ; § II. —

infinité de développante* differentes. Il est clair, en effet, qne ai l’on prend Fig.jgg. (Ur le f,l APOQ , d’nn côté on de l’antre do point A, nne certaine longueur AA' tout-it-fail arbitraire, le mouvement par lequel le point A décrit la courbe AB, suffira pour que le point A' engendre do la même manière nne seconde courbe A'B' équidistante de la première, ou parallèle Ma première. Enfin, comme il est facile de le voir,

Les rayons de courbure sont tangens à la développée et normaux a la développante.

Fig. 300.

iig.aot.

Fig. 303.

N» 347. Examinons maintenant quelques circonstances remarquables qne les courbes peuvent présenter dans leur cours.

Et d’abord , observons qu’il n’est pas dans la nature d’une ligne courbe , pas plus que dan* celle d’une ligne droite, de s’arrêter brusquement en un point. Ainsi, ou bien la courbe est rentrante sur elle-même, comme le cercle; on bien elle est indéfinie dans deux sens, comme la ligne droite (n» 8); on bien enfin elle se compose de diverses portions dont chacune est dans l’nn ou dans l’autre de ces deux cas : sans quoi ce ne serait pas nne véritable courbe complète, mais seulement un arc de courbe (n° aîq).

Cela posé, rappelons t° qn’nnc tangente n’est antre chose qu’une sécante dont deux points d’intersection se confondent (n° 31), et a« qu’une sécante peut avoir un nombre quelconquede points communs avec la courbe (n® a3g). — Il s’ensuit qu’au moment oi» nne sécante PQ (fis. 300) devient tangente [ST], trois des points primitifs d’intersection, P, A, Q, peuvent se réunir en un seul [A]. Or, tout point A pour lequel cette circonstance a lien, se nomme un point d’inflexion. On voit qu’en ce* sortes de points, la tangente coupe la courbe en même temps qu’elle la touche , et qu’ainsi les deux lignes ont deux élémens consecutifs communs an lien d’nn seul. — Ce qui caractérise encore les point* d’inflexion , c’est que, si l’on considère les quatre angles droits formés par la tangente ST et la normale MN , les pointa de la courbe qui avoisinent le point de contact, sont sitné» dans deux angles opposa. Enfin , les points d’inflexion peuvent être considérés comme des

points dans lesquels la convexité et la concavité passent d’un côté de la courbe i rature, ou changent mutuellement de sens (v oyez le n» a4t).

Il peut arriver qne la courbe passe plusieurs fois par le même point, A , B, on C (fig. aot) : ce point se nomme un point multiple. — U peut j avoir, en un point multiple, ou plusieurs tangentes comme aux point* A, B, ou une seule comme aux pointa C. Le cercle oscnlateur est, sous ce rapport, dans le même cas que la tangente ; mais le nombre des cercles osculatenrs différens ne peut être moindre que celui des tangentes différentes.

Quelquefois, la courbe retourne brusquement sur elle-même après s’être, en apparence , arrêtée en un certain point , A , B , ou C (fig. 303) : co point se nomme alors un point de rebroussement.

Les deux arcade courbe qui se réunissent en un point de rebroussement, doivent y avoir la même tangente; sans qnoi la direction de cette tangente varierait brusquement. Or, ou ne doit pas non plus considérer comme