POINTS SINGULIERS

complice une courbe qui présenterait celle circonstance (') : il faudrait prolonger, par la pensée, chacun des deux area au-deli du point commun, lcqncl serait alors un rentable point multiple.

Le rebroussement est dit de première espèce quand Ira deux arc» de la courbe sont, l'un d'un côté de la tangente, l’autre de l’autre, comme aux point* A, B; il est de seconde espèce quand le* deux arc* sontdn même Fig,aoa. côte' de la tangente, comme au point C (**)■ Mais dans tous Ica cas, ces deux arcs sont situes h la fois du meme côté de la normale.

Le* point* d’inflexion et de rebroussement, ainsi que les points multiples, ont reçu le nom générique de points singuliers.

N" a48. On peut considérer les poinu singuliers comme des points de division naturels de la courbe , en divers segmens que l’on nomme ses branches.

[Une courbe peut cependant, comme celle qui est marquée A dans la figure uoa , n’avoir qu’nnc seule branche , quoique présentant un point de rebroussement.] Chaque branche est nécessairement convexe du même côté dans toute l'étendue de son cours.

On peut distinguer plusieurs sortes de branches de courbes : les unes sont terminées départ et d’autre en deux points singuliers; d’autres branches sont limitées dans un sens par un point singulier, et illimitées dans l’autre [comme le sont, par exemple , les deux segmens d’une ligne droite] ; d’autres enfin sont illimitées dans les deux sens (vo^ez le n° ifa).

Une branche de courbe, AB (fig. ao3,'f peut être conformée de manière que pjg J0j les distances de se* divers points & une certaine droite, XZ, comptées sur des perpendiculaires équidistantes entre elles, PM, P’M’, P"M'. soient susceptibles de devenir moindres que toute ligne donnée quelque petite que soit celle-ci, mais cependant sans être jamais rigoureusement nulle*. C’est ce qui arriverait, par exemple, ai ces distances pouvaient être représentées

par la série des nombres : t, * , g, — Lorsqu’une branche de

courbe se trouve dans ce cas, de s'approcher indéfiniment d’une droite sans jamais l’atteindre, la courbe et la droite sont dites asymptotes l’une de l’autre. — [La même chose peut aussi avoir lieu entre deux courbes.]

Enfin, l’on nomme spirale (fig. aoj) , toute courbe ou branche de courbe pqui, faisant un nombre infini [ou fini] de circonvolutions autour d’un point, s’en rapproche ou s’en éloigne indéfiniment.

(*) La raison en est , d’après la théorie analytique des conrbcs, que deux valeurs d’une même quantité variable ne peuvent devenir imaginaires tans passer par l’égalité.

(**) M. Fasactao» a proposé les dénominations de cératoïde et de ramphoide pour caractériser les conrbcs qui présentent des points de rebroussement de première ou de seconde espèce. — Cératoïde, mpaotttAs, signifie semblable à une corne ; et ramphoïde, iipftulù , semblable a un bec d'oiseau.