DE LA SIMILITUDE

§ I". — Caractères et Propriétés des Figures Semblables.

N° 25 t. Il n’est personne qui n’ait une idée de la similitude ou de la ressemblance : ainsi , par les mots figures semblables, tout le inonde entend sur le champ, deux figures dont l’une est en petit ce que l’autre est en grand; c’est-à-dire, deux figures telles , qu’il n’est aucun point de l’une qui n’ait son correspondant, ou comme on s’exprime en Géométrie, son homologue , dans l’autre ; de sorte que si , par la pense'e , on mène, de toutes les manières possibles, des droites qui lient deux à deux tous les points de la première figure, puis, que l’on exécute la même opération pour la seconde figure, les rapports numériques de chaque couple de lignes homologues soient tous égaux entre eux. [Ce rapport constant se nomme le rapport de similitude des deux figures. ]

Or, comme la théorie suivante le fera voir, toutes ces conditions , qui paraissent être en nombre infini , se réduisent cependant en définitive, à un petit nombre de conditions réellement différentes. On conçoit en effet que la détermination complète d’une figure d' une espèce donnée, se ramenant tou-

Fig.

ci a

Fig.

ci 2

jg4 UV. H; CHAP. ,1; § I. —

jours [ainsi qu’on l’a vu pour les polygones (liv. i, chap. vi)] à la détermination de certaines lignes principales desquelles dépendent toutes les autres, il doit en résulter que le nombre des rapports dont il est nécessaire d’établir l’égalité, n’est antre que le nombre même de ces lignes principales.

D’après cette considération, et vu l’impossibilité de s’assurer directement si toutes les lignes correspondantes de deux figures, sont proportionnelles, on adopte d’abord une définition géométrique restreinte et purement conventionnelle , qui ne porte que sur les élémens nécessaires à la détermination de chaque figure, et cela, d’abord pour les triangles, ensuite pour les polygones quelconques , sauf à montrer plus tard que les figures qui satisfont à cette définition, sont semblables dans le sens général indiqué plus haut.

N° 25 2. Cela posé , un triangle étant déterminé par ses trois côtés , il s’ensuit que

no Deux triangles , ABC, A'B'C' (fig. 210 et 211), sont sem-

1,1 blables lorsqu’ils ont les côtés proportionnels ,

C’est-à-dire lorsqu’on a

* ab : a'B' :: bc : B'c7 :: ca : C'A’.

N® 253. Ensuite, tous les polygones étant décoinposables en triangles; et de plus, un polygone étant déterminé quand on connaît un assemblage de triangles qui le composent, il s’ensuit que

•jh Deux polygones (fig. 2 1 2 et 2 1 3 ) sont semblables lorsqu’ils peuvent se décomposer [d’une manière quelconque (n° 21 y)] en un même nombre de triangles semblables (n° 25a) chacun à chacun et assemblés de la même manière.

Telle est la définition géométrique des polygones semblables , réduite aux seules conditions strictement nécessaires ; et il s’ensuit que la théorie de la similitude des figures planes quelconques se ramène entièrement et dans tous les cas possibles , à celle des triangles semblables.

— ^SIMILITUDE ES général. ig5

N° a54- Nous avons défini plus haut (n° 25i) les points homologues, en nous contcutant de dire que l’on nommait ainsi les points correspondons ; et cette définition est suffisamment intelligible. Cependant, pour mettre plus de rigueur dans nos expressions, nous devons donner aussi une définition géomé* trique (n° a5i ) de cette sorte de points.

Maintenant donc, nous nommerons Points Homologues, dans les plans respectifs de deux polygones semblables, tels que ABCDE, A'B'C’D'E' (fig. ai4):

i° Les sommets correspondons , c’est-à-dire les intersections des côtés proportionnels ;

a° Les points, tels que M et M', qui partagent en parties [directement] proportionnelles, deux côtés proportionnels, AB et A'B', de sorte que l’on ait

am : A'M' :: mb : m’B';

3° Les points, tels que O et O', liés à des côtés proportionnels par des triangles semblables [et semblablement disposés], de sorte que l’on ait

OD : o'D' :: oe,: O'E' :: de : D'E'.

[Cette troisième espèce de points homologues comprend les deux premières comme cas particuliers].

On nomme Lignes Homologues, les côtes correspondais [ou proportionnels], les diagonales correspondantes, et généralement des droites quelconques , telles que MO et M'O', qui lient entre eux des points homologues.

N° 255. Il est facile de conclure des principes établis cidessus , que l’égalité des polygones n’est qu'un cas particulier de leur similitude ; et cette proposition sera prouvée généralement si on peut la démontrer pour deux triangles. Or, en reprenant la relation, posée plus haut (n° 25a, fig. 210 et 21 1 ),

ab : A'B' :: bc : B'^ :: ca : C'a',

si l’on y fait AB = A'B', on en tire aussi