BC = B'C', CA = C'A

Fig.aïf

Fig. aïo clan.

ig6 LIV. II; CHAP. I; $ i. i— '

Fig. aïo donc alors les deux triangles ABC, A'B'C', sont égaux comme eta,,‘ ayant les côtés égaux chacun à chacun (n° 169).

Ainsi — Deux triangles , — et par suite — Deux polygones semblables, sont égaux lorsqu’ils ont une ligne homologue égale .

N® a 56. On peut établir également [ au moyen de la théorie des proportions] que

Deux figures semblables à une troisième sont semblables entre elles ;

Et il suffit encore de démontrer cette proposition pour les triangles , ce qui est facile : car si l’on désigne par ATC, A’B'C', A'B'C", trois triangles tels que l’on ait à la fois les relations

on en couclut , en divisant membre à membre ,

Fig. aïo *57. EnGn. de ineme qu'il y a pont les ligures planes, deux modes de

«tan* superposition possibles (n° .J J)» de même aussi Ton distingue deux sortes de simili tnde qui y correspondent : la similitude directe (tig. a 10} et la similitude inverse (fig. ail). La première a lieu lorsque les côtes homologues sont disposes dans le même ordre, et la seconde lorsqu'ils sont disposes dans un ordre inverse. On peut distinguer facilement ces deux sortes de similitude en supposant que les côtés homologues deviennent égaux chacun h chacun : car alors les deux ligures proposées sont directement semblables ou inversement semblables , suivant qu'elles se trouvent, par suite de cette hypothèse , directement ou inversement superposables.

Lprsque deux figures sont directement semblables et qu'on retourne l’une des deux, elles deviennent inversement semblables ; et réciproquement. Du reste, entre la similitude directe et la similitude iuverse il n'v a, pour le*' figures planes, de diffc'rence que dans la position ; d’où l'on peut conclure les principes suivant :

i* Deux figuies inversement semblables sont, directement semblables a leurs symétriques réciproques ;

■j° Deux figures inversement semblables sont symétriques lorsqu elles ont une ligne homologue égale ;

Et enfin — 3° Deux figures inversement semblables a une troisième sont directement semblables entre elles.

— lianes proportionnelles.

N° 258. Lkhme I. Fig. ai 5.

Lorsque deux droites quelconques , MN, M'N', sont coupées Fig.siS. par un nombre quelconque de parallèles , AA', BR' , CC , DD ..., si les segmens de l’une sont égaux entre eux , les segmens de l’autre sont aussi égaux entre eux.

Pour le prouver, menons à M'N' les parallèles AI, BK ,

CL..., terminées respectivement sur les droites BB’, CC', DD'....

Les triangles ABI, BCK...., seront égaux (n8 172) comme ayant un côté égal, AB = BC...., adjacent à des angles égaux chacun à chacun, BAÏ =:GBK...., et ABI = BCK..... : donc AI = BK...., et par suite A'B' =• B'C'.... etc. (u8 19Ü).

N° 259. Lemmf. U. Fig. 2i(ï.

Les segmens de deux droites 'quelconques , MN, M'N', Fig.216. compris entre trois parallèles, AA', BB', CC', sont directement proportionnels [c’esUk-dire que l’on a : AB; BC;: A'B': B'C'].

Supposons, par exemple, AB > BC; et, dans cette hypothèse, admettons, pour fixer les idées, qu’en portant BC le long de AB autant de fois qu’il est possible, de A vers B, on trouve que BC est contenu dans AB , une première fois de A en

D, puis une seconde fois de D en E, avec un reste Eb moindre que BC. Cela posé, menons, par les points D,E, les droites DD', EE', parallèles à AA', et terminées à la droite M'N'. Il est: bien clair, d’après le premier lemme démontré (n 0 précédent) , que A'D' ,D'E', seront égaux à B'C', et E'B' moindre que B'C';, et que par conséquent. A'B' contiendra autant de fois B'C', en nombre entier, que AB contient BC.

On prouverait de même, en portant le reste EB sur BC, et, menant des parallèles , que BC contient EB autant de fois , en nombre entier, que B'C' contient E'B' ; .... et ainsi de suite.

Maintenant, l’opération que nous venons d’indiquer sur leg lignes AB et BC, n’est évidemment autre que l’opération à effectuer pour trouver leur rapport (n°63 et ri«V.)j et l’opéra*

*g8 LtV. Il ; CHAP. I ; § I. —

Fig. ai S. tion toute pareille exécutée sur A'B' et FC' au moyen des parallèles DF, EE', etc., n’est aussi que la détermination de leur rapport. Or, puisque les quotiens successifs obtenus de part et d'autre sont continuellement les mêmes [que leur nombre soit limité ou qu’il soit illimité], on doit en conclure que les deux rapports sont nécessairement identiques (n° 66), c'est-à-dire que l’on a toujours AB ; BC “ A'B' t B'C' ; C. Q. F. D.

N. B. — Attendu — 1° que trois des quatre termes de la proportion précédente peuvent être pris tout-à-fait arbitrairement,— 2* que ces trois termes, que nous supposerons être les trois premiers , déterminent complètement les deux premières des trois droites AA', BB', CC', et seulement un point C de la troisième, — et enfin 3° qu'aucune condition n’assujettit les deux droites AA', BB', à être parallèles i — il s’ensuit, à l’inverse, que le partage de deux droites MN, M'N', par trois autres AA', BB', CC', en segmens proportionnels, n’entrainc nullement le parallélisme de celles-ci.

Mais on peut supposer que les trois segmens donnés soient tels que deux de ces trois droites soient parallèles ; et de cette hypothèse résulte la réciproque suivante : r*g-a,7- Réciproquement : — Si l’on a la proportion (fig. 217 )

ab : BC :: a'b' : B'C',

et que deux des trois droites AA', BB', CC', soient parallèles, si par exemple AA' est parallèle à BB', la troisième CG sera parallèle aux deux autres.

Car si CG n’est pas parallèle aux deux droites AA', BB', alors par le point C, menons-leur la parallèle Ce, terminée en c sur M'N': nous aurons AB : BC “A'B' : Fc;

d’où [en comparant avec la proportion hypothétique] nous tirerons: A'B' : B'C' “A'B' : B'c,

et par suite B'c = B'C' ; Ce qui est contraire à l'hypothèse.

On démontrerait à peu près de même, que la proportion supposée et leparallélisme des deux droites AA', CC', entraînent celui de la troisième droite BB' avec les deux premières, etc-