LIGNES PROPORTIONNELLES. I

— Au surplus, cette réciproque n’est qu’une application du principe pose dans le numéro 49-

Scolie icr. — Les deux lemmes précédens sont vrais quelle que soit la position du point de concours des deux droites MN,M'N' (fig. 218), par rapport aux trois autres, en dedans Fï". ai8. ou en dehors des deux bandes, ou même sur l’une des trois parallèles, hypothèse qui réduit, en réalité, le nombre de celles-ci à deux seulement (*) ; et ces mêmes propositions seraient encore vraies quand bien même les droites MN, M'N', seraient parallèles. — Il en est de même delà réciproque , en observant toutefois, que si les deux droites MN , M N', se coupent sur l'une des trois autres, par exemple sur AA', la proportion seule entraîne le parallélisme des deux droites BB', CC', quelle que soit d’ailleurs la direction de AA'.

Scol. i. — On sait d’après l’ Arithmétique , que les termes de la proportion démontrée au lemme n, sont toujours susceptibles de huit dispositions différentes dans lesquelles la proportionnalité ne cesse pas d’avoir lieu ; et nous insisterons ici sur ce point , que les quatre segmens qui composent les quatre termes de ces diverses proportions, doivent toujours y être placés dans le même ordre , et par rapport aux deux droites auxquelles ils appartiennent , et par rapport aux parallèles entre lesquelles ils sont compris : ou bien , ce qui revient au même, que les deux moyens d’une part, et les deux extrêmes de l’autre, ne doivent jamais être, ni segmens d’une même droite, ni limités par les mêmes parallèles

(*) On recommande spécialement aux élèves ce cas particulier.

(**) Nous rappellerons de plus, que, d’après l’ Arithmétique , un antécédent et son conséquent peuvent être remplacés è la fois et respectivement, par la somme on la différence des antécédens et par la somme ou la différence des conséquens ; qne de même, la somme on la différence des deux premiers termes et la somme ou la différence des deux derniers, penvent remplacer Il la fois, soit les deux antécédens , soit les deux conséquent , etc., etc. .. : en observant encore, conformément au scolie a', que chaque proportion résultante est lonjours susceptible de huit permutations différentes.

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